空間内の3点O(0,0,0), A(2,3,1), B(3,0,4)が与えられたとき、以下のものを求める。 (i) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ (内積) (ii) $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ (外積) (iii) 3点O, A, Bを通る平面の方程式

## レポート問題1 (0)

1. 問題の内容

空間内の3点O(0,0,0), A(2,3,1), B(3,0,4)が与えられたとき、以下のものを求める。

(i) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ (内積)

(ii) $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ (外積)

(iii) 3点O, A, Bを通る平面の方程式

2. 解き方の手順

(i) 内積

$\overrightarrow{OA} = (2, 3, 1)$

$\overrightarrow{OB} = (3, 0, 4)$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (2)(3) + (3)(0) + (1)(4) = 6 + 0 + 4 = 10$

(ii) 外積

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (3\cdot4 - 1\cdot0, 1\cdot3 - 2\cdot4, 2\cdot0 - 3\cdot3) = (12 - 0, 3 - 8, 0 - 9) = (12, -5, -9)$

(iii) 平面の方程式

3点O, A, Bを通る平面は、原点を通るので、その方程式は $ax + by + cz = 0$ の形になる。

平面上の任意の点P(x, y, z)に対して、ベクトル$\overrightarrow{OP}$ はベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$の線形結合で表される。つまり、ベクトル$\overrightarrow{OP}$はベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$によって張られる平面上にある。

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ は平面の法線ベクトルであるから、平面の方程式は、

$12x - 5y - 9z = 0$

3. 最終的な答え

(i) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 10$

(ii) $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (12, -5, -9)$

(iii) $12x - 5y - 9z = 0$

## レポート問題2 (0)

1. 問題の内容

行列$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$と$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$が与えられたとき、以下のものを求める。

(i) $AB$ (行列の積)

(ii) $2B$ (スカラー倍)

(iii) $A^2$ (行列の2乗)

2. 解き方の手順

(i) 行列の積$AB$

$A$は2x2行列、$B$は3x2行列なので、$AB$は定義されない。

(ii) スカラー倍

$2B = 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$

(iii) 行列の2乗

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot3 + (-1)\cdot5 & 3\cdot(-1) + (-1)\cdot2 \\ 5\cdot3 + 2\cdot5 & 5\cdot(-1) + 2\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 5 & -3 - 2 \\ 15 + 10 & -5 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 25 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) $AB$は定義されない。

(ii) $2B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$

(iii) $A^2 = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 25 & -1 \end{pmatrix}$