実数全体の集合を全体集合とし、$A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$, $B = \{x \mid -3 < x \le 4\}$, $C = \overline{A} \cup \overline{B}$ とするとき、$A \cap C$ と $A \cup \overline{C}$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

実数全体の集合を全体集合とし、$A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$, $B = \{x \mid -3 < x \le 4\}$, $C = \overline{A} \cup \overline{B}$ とするとき、$A \cap C$ と $A \cup \overline{C}$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$C$ を簡単にします。ド・モルガンの法則より、

$C = \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$

$A \cap B = \{x \mid -1 \le x < 5\} \cap \{x \mid -3 < x \le 4\} = \{x \mid -1 \le x \le 4\}$

したがって、

$C = \overline{A \cap B} = \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$

次に、$A \cap C$ を求めます。

$A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$

$C = \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$

$A \cap C = \{x \mid -1 \le x < 5\} \cap \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\} = \{x \mid 4 < x < 5\}$

次に、$\overline{C}$ を求めます。

$\overline{C} = \overline{\overline{A \cap B}} = A \cap B = \{x \mid -1 \le x \le 4\}$

最後に、$A \cup \overline{C}$ を求めます。

$A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$

$\overline{C} = \{x \mid -1 \le x \le 4\}$

$A \cup \overline{C} = \{x \mid -1 \le x < 5\} \cup \{x \mid -1 \le x \le 4\} = \{x \mid -1 \le x < 5\}$

3. 最終的な答え

$A \cap C = \{x \mid 4 < x < 5\}$

$A \cup \overline{C} = \{x \mid -1 \le x < 5\}$