問題は必要条件、十分条件、必要十分条件を理解しているかを問う問題です。 (1) $m$, $n$ がともに偶数であることは、$mn$ が 4 の倍数であるための何であるか。 (2) $x+y>0$ は、$x>0$ かつ $y>0$ であるための何であるか。 (3) $(x-1)(y-2)=0$ は、$x=1$ または $y=2$ であるための何であるか。

1. 問題の内容

問題は必要条件、十分条件、必要十分条件を理解しているかを問う問題です。

(1) $m$, $n$ がともに偶数であることは、$mn$ が 4 の倍数であるための何であるか。

(2) $x+y>0$ は、$x>0$ かつ $y>0$ であるための何であるか。

(3) $(x-1)(y-2)=0$ は、$x=1$ または $y=2$ であるための何であるか。

2. 解き方の手順

(1)

$m$, $n$ がともに偶数であるとき、$m=2k$, $n=2l$ ($k$, $l$ は整数) と表せるので、$mn = 4kl$ となり、$mn$ は4の倍数となる。

したがって、$m$, $n$ がともに偶数である $\Rightarrow$ $mn$ が 4 の倍数である は真。

$mn$ が4の倍数であるとき、$m$ と $n$ がともに奇数ということはない。$m$ と $n$ の少なくとも一方は偶数である。しかし、$m=2$、$n=1$ のとき、$mn=2$ となり4の倍数ではない。$m=1$, $n=4$とすると $mn = 4$となり$mn$は4の倍数となる。

$mn$ が4の倍数である $\Rightarrow$ $m$, $n$ がともに偶数である は偽。

したがって、$m$, $n$ がともに偶数であることは、$mn$ が 4 の倍数であるための十分条件であるが必要条件ではない。

(2)

$x>0$ かつ $y>0$ であるとき、$x+y>0$ は成り立つ。

したがって、$x>0$ かつ $y>0$ である $\Rightarrow$ $x+y>0$ は真。

$x+y>0$ であるとき、$x>0$ かつ $y>0$ であるとは限らない。例えば、$x=2$、$y=-1$ のとき、$x+y=1>0$ だが、$y<0$ である。

したがって、$x+y>0$ である $\Rightarrow$ $x>0$ かつ $y>0$ である は偽。

したがって、$x+y>0$ は、$x>0$ かつ $y>0$ であるための必要条件であるが十分条件ではない。

(3)

$(x-1)(y-2)=0$ であるとき、$x-1=0$ または $y-2=0$ であるので、$x=1$ または $y=2$ である。

したがって、$(x-1)(y-2)=0$ $\Rightarrow$ $x=1$ または $y=2$ は真。

$x=1$ または $y=2$ であるとき、$(x-1)(y-2)=0$ が成り立つ。

したがって、$x=1$ または $y=2$ $\Rightarrow$ $(x-1)(y-2)=0$ は真。

両方が真なので、必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件であるが必要条件ではない

(2) 必要条件であるが十分条件ではない

(3) 必要十分条件である