A地点、B地点、C地点が一直線上に並んでおり、A地点からB地点までの距離は10km、B地点からC地点までの距離はd kmである。A地点に4人、B地点に2人、C地点にc人いる。集まる場所をA地点からx kmの地点としたときの移動コストyを求める。その後、c=1、d=6のときのyが最小となるxの値を求め、移動コストが最小となる地点がB地点のみとなるようなcの値の範囲を求める。

1. 問題の内容

A地点、B地点、C地点が一直線上に並んでおり、A地点からB地点までの距離は10km、B地点からC地点までの距離はd kmである。A地点に4人、B地点に2人、C地点にc人いる。集まる場所をA地点からx kmの地点としたときの移動コストyを求める。その後、c=1、d=6のときのyが最小となるxの値を求め、移動コストが最小となる地点がB地点のみとなるようなcの値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 移動コストyの式を求める。

* A地点からの距離がxの地点に集まる場合、A地点からの移動コストは$4x$。

* B地点からの距離は$|x-10|$なので、B地点からの移動コストは$2|x-10|$。

* C地点からの距離は$|x-10-d|$なので、C地点からの移動コストは$c|x-10-d|$。

よって、移動コストyは

$y = 4x + 2|x-10| + c|x-10-d|$

選択肢を見ると絶対値記号がついているので、これが答えとなる。

(2) c=1, d=6のときのyが最小となるxの値を求める。

$y = 4x + 2|x-10| + |x-16|$

場合分けをして絶対値を外す。

* $0 \le x < 10$のとき、$y = 4x + 2(10-x) + (16-x) = 4x + 20 - 2x + 16 - x = x + 36$

* $10 \le x < 16$のとき、$y = 4x + 2(x-10) + (16-x) = 4x + 2x - 20 + 16 - x = 5x - 4$

* $16 \le x \le 16+d = 22$のとき、$y = 4x + 2(x-10) + (x-16) = 4x + 2x - 20 + x - 16 = 7x - 36$

それぞれの範囲でyの最小値を考える。

* $0 \le x < 10$のとき、$y = x + 36$は増加関数なので、$x=0$のとき最小値36をとる。

* $10 \le x < 16$のとき、$y = 5x - 4$は増加関数なので、$x=10$のとき最小値46をとる。

* $16 \le x \le 22$のとき、$y = 7x - 36$は増加関数なので、$x=16$のとき最小値76をとる。

$0 \le x < 10$の区間において、$x$が10に近づくほどyの値は小さくなる。

$10 \le x < 16$の区間において、$x=10$のとき$y=46$となる。

したがって、$x=10$の時に最小の値をとると考えられる。

(3) 移動コストが最小となる地点がB地点のみとなるようなcの値の範囲を求める。

B地点に集まる、つまり$x=10$でyが最小となる条件を考える。

$y = 4x + 2|x-10| + c|x-10-d|$

$x=10$のとき、$y = 40 + c| -d | = 40 + cd$

$x$が$10$より少し小さいときを考えると、$y = 4x + 2(10-x) + c(10+d-x)=4x + 20 - 2x + 10c + cd -cx= 2x + 20+10c+cd-cx$

$x$が$10$より少し大きいときを考えると、$y = 4x + 2(x-10) + c(x-10-d)=4x + 2x - 20 + cx - 10c - cd = 6x-20+cx-10c-cd$

$x=10$で最小となるためには、

$y'(10-)>0$かつ$y'(10+)<0$となる必要がある。

$x<10$のとき傾き$2-c>0$より、$c<2$

$x>10$のとき傾き$6+c>0$より、$c>-6$

$c>0$より、$0<c<2$

x=10で最小となるためには、yがx=10で微分不可能となり、そこで極小となる必要がある。これは、$0 < c < 2$のとき成り立つ。

しかし、最小となる地点がB地点のみとなるには、$0 < c \le 2$である必要がある。

なぜなら、c=2のとき、y=4x+2|x-10|+2|x-10-d|となり、x<10のとき傾きは0になってしまう。

したがって、移動コストが最小となる地点がB地点のみとなるようなcの値の範囲は$0 < c \le 2$となる。

最も小さいものは0より大きく、限りなく0に近い値となる。最も大きい値は2となる。

3. 最終的な答え

ク: ①

ケ: ①

コ: 0

サ: 2