水平な地面に垂直に立つ塔があり、地点Pから塔の先端を見上げた角度が60度です。直線CP上で地点CからPを越えて遠ざかった地点をQとし、PQ = x とします。Qから塔の先端を見上げた角度は45度です。このとき、塔の高さをxを用いて表してください。

1. 問題の内容

水平な地面に垂直に立つ塔があり、地点Pから塔の先端を見上げた角度が60度です。直線CP上で地点CからPを越えて遠ざかった地点をQとし、PQ = x とします。Qから塔の先端を見上げた角度は45度です。このとき、塔の高さをxを用いて表してください。

2. 解き方の手順

塔の高さを $h$、CP の長さを $y$ とします。

* P から見上げた角度が 60 度なので、直角三角形を考えると

$\tan 60^\circ = \frac{h}{y}$

$\sqrt{3} = \frac{h}{y}$

$y = \frac{h}{\sqrt{3}}$

* Q から見上げた角度が 45 度なので、CQ の長さは $y + x$ であり、

$\tan 45^\circ = \frac{h}{y+x}$

$1 = \frac{h}{y+x}$

$h = y+x$

$y$ を上の式に代入すると、

$h = \frac{h}{\sqrt{3}} + x$

$h - \frac{h}{\sqrt{3}} = x$

$h(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = x$

$h(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}) = x$

$h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}x$

分母を有理化すると

$h = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}x = \frac{3+\sqrt{3}}{3-1}x = \frac{3+\sqrt{3}}{2}x$

3. 最終的な答え

塔の高さは $\frac{3+\sqrt{3}}{2}x$ です。