四面体ABCDにおいて、$AD=2, BD=4, CD=6, \angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$のとき、以下の値を求めよ。 (1) 四面体ABCDの体積$V$ (2) $\triangle ABC$の面積$S$ (3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さ$d$

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$AD=2, BD=4, CD=6, \angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$のとき、以下の値を求めよ。

(1) 四面体ABCDの体積$V$

(2) $\triangle ABC$の面積$S$

(3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さ$d$

2. 解き方の手順

(1) 四面体ABCDの体積$V$は、$AD, BD, CD$が互いに直交しているので、

$V = \frac{1}{6} \times AD \times BD \times CD = \frac{1}{6} \times 2 \times 4 \times 6 = 8$

(2) $\triangle ABC$の面積$S$を求める。

まず、$AB, BC, CA$の長さを求める。

$\triangle ADB$において、$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$\triangle BDC$において、$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

$\triangle ADC$において、$CA = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

ヘロンの公式を用いる。$s = \frac{AB+BC+CA}{2} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{13} + \sqrt{10}$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)}$は計算が大変なので、別の方法を考える。

$\vec{DA} = \vec{a}, \vec{DB} = \vec{b}, \vec{DC} = \vec{c}$とおくと、

$\vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AC} = \vec{DC} - \vec{DA} = \vec{c} - \vec{a}$

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})| = \frac{1}{2} |\vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{a}| = \frac{1}{2} |\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}|$

ここで、$|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 4, |\vec{c}| = 6$であり、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は互いに直交しているので、

$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| = 4 \times 6 = 24$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| = 2 \times 4 = 8$

$|\vec{c} \times \vec{a}| = |\vec{c}| |\vec{a}| = 6 \times 2 = 12$

$S = \frac{1}{2} \sqrt{24^2 + 8^2 + 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{576 + 64 + 144} = \frac{1}{2} \sqrt{784} = \frac{1}{2} \times 28 = 14$

(3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さ$d$

四面体ABCDの体積は、$V = \frac{1}{3} \times S \times d$で表されるので、

$8 = \frac{1}{3} \times 14 \times d$

$d = \frac{3 \times 8}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $V = 8$

(2) $S = 14$

(3) $d = \frac{12}{7}$