高さ $z$ の関数である空気の圧力 $p$ と密度 $\rho$ に関する問題です。 1) 微小領域に働く力のつり合いから、与えられた式 (4) を導出します。 2) 式 (4) を $\Delta z$ の1次まで近似し、$p'(z) + \rho(z)g = 0$ を導出します。 3) 空気が理想気体の状態方程式に従うとして、$p' + \frac{Mg}{RT}p = 0$ を示し、$z=0$ での気圧が $p_0$ である初期条件を満たす解を求めます。 4) 与えられた定数を用いて、$p(z) = \frac{1}{2}p_0$ となる高さ $z$ を求めます。

1. 問題の内容

高さ $z$ の関数である空気の圧力 $p$ と密度 $\rho$ に関する問題です。

1) 微小領域に働く力のつり合いから、与えられた式 (4) を導出します。

2) 式 (4) を $\Delta z$ の1次まで近似し、$p'(z) + \rho(z)g = 0$ を導出します。

3) 空気が理想気体の状態方程式に従うとして、$p' + \frac{Mg}{RT}p = 0$ を示し、$z=0$ での気圧が $p_0$ である初期条件を満たす解を求めます。

4) 与えられた定数を用いて、$p(z) = \frac{1}{2}p_0$ となる高さ $z$ を求めます。

2. 解き方の手順

1) 微小領域に働く力のつり合いを考えます。

高さ $z$ における圧力を $p(z)$ とし、高さ $z+\Delta z$ における圧力を $p(z+\Delta z)$ とします。

微小円柱の断面積を $\Delta S$ とすると、上向きの力は $p(z)\Delta S$ であり、下向きの力は $p(z+\Delta z)\Delta S + \rho(z)g\Delta z \Delta S$ です。

力のつり合いより、

$p(z)\Delta S = p(z+\Delta z)\Delta S + \rho(z)g\Delta z \Delta S$

両辺を $\Delta S$ で割ると、

$p(z) = p(z+\Delta z) + \rho(z)g\Delta z$

したがって、

$p(z+\Delta z) + \rho(z)g\Delta z = p(z)$

2) 式 (4) は $p(z+\Delta z) + \rho(z)g\Delta z = p(z)$ であり、$\Delta z$ が微小であるため、$p(z+\Delta z)$ をテイラー展開の1次までで近似します。

$p(z+\Delta z) \approx p(z) + p'(z)\Delta z$

これを式 (4) に代入すると、

$p(z) + p'(z)\Delta z + \rho(z)g\Delta z = p(z)$

$p'(z)\Delta z + \rho(z)g\Delta z = 0$

両辺を $\Delta z$ で割ると、

$p'(z) + \rho(z)g = 0$

3) 理想気体の状態方程式は $pV = nRT$ であり、密度 $\rho = \frac{nM}{V}$ となります。

したがって、$p = \frac{\rho RT}{M}$ となり、$\rho = \frac{Mp}{RT}$ となります。

これより、$p'(z) + \frac{Mg}{RT}p(z) = 0$ となります。

この微分方程式を解きます。

$\frac{dp}{dz} = -\frac{Mg}{RT}p$

$\frac{dp}{p} = -\frac{Mg}{RT}dz$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dp}{p} = \int -\frac{Mg}{RT}dz$

$\ln p = -\frac{Mg}{RT}z + C$

$p(z) = e^{-\frac{Mg}{RT}z + C} = e^C e^{-\frac{Mg}{RT}z}$

$z=0$ で $p(0) = p_0$ なので、$p_0 = e^C e^0 = e^C$ となります。

したがって、$p(z) = p_0 e^{-\frac{Mg}{RT}z}$

4) $p(z) = \frac{1}{2}p_0$ となる $z$ を求めます。

$\frac{1}{2}p_0 = p_0 e^{-\frac{Mg}{RT}z}$

$\frac{1}{2} = e^{-\frac{Mg}{RT}z}$

$\ln \frac{1}{2} = -\frac{Mg}{RT}z$

$-\ln 2 = -\frac{Mg}{RT}z$

$z = \frac{RT}{Mg} \ln 2$

$M = 29 \times 10^{-3}$ kg/mol, $T = 290$ K, $R = 8.3$ J/mol K, $g = 9.8$ m/s$^2$, $\ln 2 = 0.69$ を代入すると、

$z = \frac{8.3 \times 290}{29 \times 10^{-3} \times 9.8} \times 0.69 = \frac{8.3 \times 290 \times 0.69}{29 \times 10^{-3} \times 9.8} = \frac{8.3 \times 10 \times 0.69}{10^{-3} \times 9.8} \approx \frac{57.27}{0.0098} \approx 5843.87$

3. 最終的な答え

1) $p(z+\Delta z) + \rho(z)g\Delta z = p(z)$

2) $p'(z) + \rho(z)g = 0$

3) $p(z) = p_0 e^{-\frac{Mg}{RT}z}$

4) $z = 5843.87$ m (約5844 m)