## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 時刻 $t$ での質量 $m$ の物体の位置が $x = a \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$ (ただし、$a$ と $k$ は定数) で与えられるとき、その物体に作用する力として正しいものを選択肢から選びます。

2. $\frac{d}{dt}z(t) = -gt$ の微分方程式を解き、$z(t)$ を求めます。ここで、$g$ は重力加速度の大きさであり、$z(0) = h$ が初期条件です。

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2. 解き方の手順

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1. 物体に作用する力の導出**

物体の位置が $x = a \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$ で与えられているので、速度 $v$ と加速度 $a$ を時間 $t$ で微分して求めます。

速度 $v$ は位置 $x$ の時間微分です。

$v = \frac{dx}{dt} = -a\sqrt{\frac{k}{m}}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$

加速度 $a$ は速度 $v$ の時間微分です。

$a = \frac{dv}{dt} = -a\frac{k}{m}\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t) = -\frac{k}{m}x$

ニュートンの運動方程式 $F = ma$ より、

$F = m \cdot (-\frac{k}{m}x) = -kx$

したがって、物体に作用する力は $-kx$ となります。

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2. 微分方程式の解法**

$\frac{d}{dt}z(t) = -gt$ を解きます。

両辺を時間 $t$ で積分します。

$\int \frac{d}{dt}z(t) dt = \int -gt dt$

$z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + C$

ここで、$C$ は積分定数です。初期条件 $z(0) = h$ を用いて、$C$ を求めます。

$z(0) = -\frac{1}{2}g(0)^2 + C = h$

よって、$C = h$ となります。

したがって、$z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h$ です。

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3. 最終的な答え

1. 物体に作用する力: (6) $-kx$

2. $z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h$