不等式 $|x - 4| \leq 2x + 1$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|x - 4| \leq 2x + 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値記号を含む不等式を解くためには、絶対値の中身の符号によって場合分けを行います。

(i) $x - 4 \geq 0$、つまり $x \geq 4$ のとき

このとき、$|x - 4| = x - 4$ なので、不等式は $x - 4 \leq 2x + 1$ となります。

これを解くと、

$x - 4 \leq 2x + 1$

$-5 \leq x$

$x \geq -5$

$x \geq 4$ という条件のもとで、$x \geq -5$ が得られたので、共通範囲は $x \geq 4$ です。

(ii) $x - 4 < 0$、つまり $x < 4$ のとき

このとき、$|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4$ なので、不等式は $-x + 4 \leq 2x + 1$ となります。

これを解くと、

$-x + 4 \leq 2x + 1$

$3 \leq 3x$

$1 \leq x$

$x \geq 1$

$x < 4$ という条件のもとで、$x \geq 1$ が得られたので、共通範囲は $1 \leq x < 4$ です。

(i)と(ii)の結果を合わせると、$x \geq 4$ または $1 \leq x < 4$ となるので、これらの和集合を求めると、$x \geq 1$ となります。

ただし、$2x + 1$ は常に非負でなければならないことに注意する必要があります。つまり、$2x + 1 \geq 0$ である必要があります。これを解くと、

$2x + 1 \geq 0$

$2x \geq -1$

$x \geq -\frac{1}{2}$

$x \geq 1$ という条件は $x \geq -\frac{1}{2}$ を満たしているので、最終的な解は $x \geq 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x \geq 1$