不等式 $|x+1| > 5x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x+1| > 5x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けを行います。

(i) $x+1 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq -1$ のとき

$|x+1| = x+1$ となるので、不等式は $x+1 > 5x$ となります。

これを解くと、

$x+1 > 5x$

$1 > 4x$

$x < \frac{1}{4}$

したがって、この場合の解は $-1 \leq x < \frac{1}{4}$ となります。

(ii) $x+1 < 0$ のとき、つまり $x < -1$ のとき

$|x+1| = -(x+1)$ となるので、不等式は $-(x+1) > 5x$ となります。

これを解くと、

$-x-1 > 5x$

$-1 > 6x$

$x < -\frac{1}{6}$

したがって、この場合の解は $x < -1$ と $x < -\frac{1}{6}$ を満たす必要があるので、$x < -1$となります。

(i)と(ii)の場合を合わせると、$x < \frac{1}{4}$ となります。

しかし、$5x$ は正または負の値を取るので、$x$ の値によっては $|x+1| > 5x$ が常に成り立つ場合があります。

例えば、$x < 0$ の場合、$5x$は負になります。

絶対値は常に0以上であるため、$x < 0$ かつ $x < \frac{1}{4}$の場合、$x < -1$と$-1 \leq x < \frac{1}{4}$を合わせると、$x < \frac{1}{4}$となります。

$x < \frac{1}{4}$を満たすすべての$x$が $|x+1| > 5x$を満たすか確認します。

$x+1 \geq 0$のケースについて，$x\geq -1$より，$-1 \leq x < \frac{1}{4}$．

$x+1 < 0$のケースについて，$x < -1$．

$x$の範囲は$x < \frac{1}{4}$．

3. 最終的な答え

$x < \frac{1}{4}$