$a$ を実数とする。2次方程式 $x^2 + 2ax + (a-1) = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とする。 (1) $\alpha$ と $\beta$ は異なる実数であることを示せ。 (2) $\alpha$ と $\beta$ のうち、少なくとも1つは負であることを示せ。 (3) $\alpha \le 0$, $\beta \le 0$ であるとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を実数とする。2次方程式 $x^2 + 2ax + (a-1) = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とする。

(1) $\alpha$ と $\beta$ は異なる実数であることを示せ。

(2) $\alpha$ と $\beta$ のうち、少なくとも1つは負であることを示せ。

(3) $\alpha \le 0$, $\beta \le 0$ であるとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 判別式を $D$ とすると、

$D/4 = a^2 - (a-1) = a^2 - a + 1 = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$

よって、$\alpha$ と $\beta$ は異なる実数である。

(2) 解と係数の関係より、$\alpha \beta = a - 1$

もし $\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ ならば、$\alpha \beta > 0$ より $a - 1 > 0$ つまり $a > 1$

また、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2a$

$a > 1$ なので、$\alpha + \beta = -2a < -2 < 0$ となる。

これは、$\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ であることに矛盾する。

したがって、$\alpha$ と $\beta$ のうち、少なくとも1つは負である。

(3) $\alpha \le 0$ かつ $\beta \le 0$ のとき、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -2a \le 0$ なので $a \ge 0$

$\alpha \beta = a - 1 \ge 0$ なので $a \ge 1$

よって $a \ge 1$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta = (-2a)^2 - 2(a-1) = 4a^2 - 2a + 2 = 4(a^2 - \frac{1}{2}a) + 2 = 4(a - \frac{1}{4})^2 - 4 \cdot \frac{1}{16} + 2 = 4(a - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{4}$

これは下に凸の放物線であり、$a \ge 1$ なので、$a = 1$ のとき最小値を取る。

$a=1$ のとき、$\alpha^2 + \beta^2 = 4(1 - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{4} = 4(\frac{3}{4})^2 + \frac{7}{4} = \frac{9}{4} + \frac{7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha$ と $\beta$ は異なる実数である（証明終わり）

(2) $\alpha$ と $\beta$ のうち、少なくとも1つは負である（証明終わり）

(3) $\alpha^2 + \beta^2$ の最小値は 4