問題は、与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める問題です。今回は(1)と(2)の2つの問題があります。

1. 問題の内容

問題は、与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める問題です。今回は(1)と(2)の2つの問題があります。

2. 解き方の手順

(1) の解き方

与えられた等式は

$\frac{3x-5}{(2x-1)(x+3)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$

両辺に $(2x-1)(x+3)$ を掛けると

$3x-5 = a(x+3) + b(2x-1)$

$3x-5 = ax+3a + 2bx - b$

$3x-5 = (a+2b)x + (3a-b)$

この等式が $x$ についての恒等式となるためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a+2b = 3$

$3a-b = -5$

この連立方程式を解きます。1つ目の式から $a = 3 - 2b$ を得て、これを2つ目の式に代入すると

$3(3-2b) - b = -5$

$9 - 6b - b = -5$

$-7b = -14$

$b = 2$

$a = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$

したがって、$a = -1$, $b = 2$

(2) の解き方

与えられた等式は

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2-x+1}$

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ であるから、両辺に $x^3+1$ を掛けると

$1 = a(x^2-x+1) + (bx+c)(x+1)$

$1 = ax^2 - ax + a + bx^2 + bx + cx + c$

$1 = (a+b)x^2 + (-a+b+c)x + (a+c)$

この等式が $x$ についての恒等式となるためには、$x^2$ の係数、$x$ の係数、定数項がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a+b = 0$

$-a+b+c = 0$

$a+c = 1$

1つ目の式から $b = -a$ を得て、これを2つ目の式に代入すると

$-a + (-a) + c = 0$

$-2a + c = 0$

$c = 2a$

これを3つ目の式に代入すると

$a + 2a = 1$

$3a = 1$

$a = \frac{1}{3}$

$b = -a = -\frac{1}{3}$

$c = 2a = \frac{2}{3}$

したがって、$a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$, $b = 2$

(2) $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = \frac{2}{3}$