球と立方体があり、それらの表面積の和が一定の値 $k > 0$ に保たれています。球の半径を $r$ とし、球と立方体の体積の和を $V$ とします。 (1) $V$ を $r$ を用いて表します。 (2) $V$ の増減を調べ、その最小値を求めます。また、$V$ が最小値をとるときの、球の半径と立方体の1辺の長さの比を求めます。

1. 問題の内容

球と立方体があり、それらの表面積の和が一定の値 $k > 0$ に保たれています。球の半径を $r$ とし、球と立方体の体積の和を $V$ とします。

(1) $V$ を $r$ を用いて表します。

(2) $V$ の増減を調べ、その最小値を求めます。また、$V$ が最小値をとるときの、球の半径と立方体の1辺の長さの比を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $V$ を $r$ で表す

球の表面積は $4\pi r^2$ です。

立方体の1辺の長さを $a$ とすると、立方体の表面積は $6a^2$ です。

表面積の和が $k$ であることから、$4\pi r^2 + 6a^2 = k$ が成り立ちます。

これから $a^2$ を $r$ で表すと、$6a^2 = k - 4\pi r^2$ より $a^2 = \frac{k - 4\pi r^2}{6}$

したがって、$a = \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$ です。ただし、$k - 4\pi r^2 \ge 0$ である必要があります。つまり、$r^2 \le \frac{k}{4\pi}$ であり、$0 \le r \le \sqrt{\frac{k}{4\pi}}$ です。

球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ であり、立方体の体積は $a^3 = (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}}$ です。

したがって、体積の和 $V$ は

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}}$

(2) $V$ の増減と最小値を求める

$V$ を $r$ で微分します。

$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2 + \frac{3}{2}(\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{-8\pi r}{6}$

$= 4\pi r^2 - \frac{2\pi r}{\sqrt{6}} \sqrt{k - 4\pi r^2}$

$\frac{dV}{dr} = 0$ となる $r$ を探します。

$4\pi r^2 = \frac{2\pi r}{\sqrt{6}} \sqrt{k - 4\pi r^2}$

$2r = \frac{1}{\sqrt{6}} \sqrt{k - 4\pi r^2}$

$4r^2 = \frac{1}{6} (k - 4\pi r^2)$

$24r^2 = k - 4\pi r^2$

$(24 + 4\pi)r^2 = k$

$r^2 = \frac{k}{24 + 4\pi}$

$r = \sqrt{\frac{k}{24 + 4\pi}} = \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{4(6 + \pi)}} = \frac{\sqrt{k}}{2\sqrt{6 + \pi}}$

このとき、$a^2 = \frac{k - 4\pi r^2}{6} = \frac{k - 4\pi \frac{k}{24 + 4\pi}}{6} = \frac{k(1 - \frac{4\pi}{24 + 4\pi})}{6} = \frac{k(24 + 4\pi - 4\pi)}{6(24 + 4\pi)} = \frac{24k}{6(24 + 4\pi)} = \frac{4k}{24 + 4\pi} = \frac{k}{6 + \pi}$

$a = \sqrt{\frac{k}{6 + \pi}} = \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{6 + \pi}}$

$r:a = \frac{\sqrt{k}}{2\sqrt{6 + \pi}} : \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{6 + \pi}} = \frac{1}{2} : 1 = 1:2$

$r = \frac{\sqrt{k}}{2\sqrt{6 + \pi}}$ のとき、$V$ は最小値をとる。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}}$

(2) $r:a = 1:2$ のとき、$V$ は最小値をとる。

最小値は

$r = \frac{\sqrt{k}}{2\sqrt{6 + \pi}}$ のとき

$a = \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{6 + \pi}}$

$V = \frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{k}}{2\sqrt{6 + \pi}})^3 + (\frac{k - 4\pi (\frac{\sqrt{k}}{2\sqrt{6 + \pi}})^2}{6})^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{4}{3}\pi \frac{k\sqrt{k}}{8(6 + \pi)\sqrt{6 + \pi}} + (\frac{k - 4\pi \frac{k}{4(6 + \pi)}}{6})^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{\pi k\sqrt{k}}{6(6 + \pi)\sqrt{6 + \pi}} + (\frac{k - \frac{\pi k}{6 + \pi}}{6})^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{\pi k\sqrt{k}}{6(6 + \pi)\sqrt{6 + \pi}} + (\frac{6k}{6(6 + \pi)})^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi k\sqrt{k}}{6(6 + \pi)\sqrt{6 + \pi}} + \frac{k\sqrt{k}}{(6 + \pi)\sqrt{6 + \pi}}$

$= \frac{k\sqrt{k}}{(6 + \pi)\sqrt{6 + \pi}} (\frac{\pi}{6} + 1) = \frac{k\sqrt{k}(6 + \pi)}{6(6 + \pi)\sqrt{6 + \pi}} = \frac{k\sqrt{k}}{6\sqrt{6 + \pi}}$