関数 $f(x)$ が $f(x) = 9x^2 + 3x + \int_{-1}^{1} f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = 9x^2 + 3x + \int_{-1}^{1} f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\int_{-1}^{1} f(t) dt$ は定数なので、$a = \int_{-1}^{1} f(t) dt$ とおきます。すると、$f(x) = 9x^2 + 3x + a$ となります。

次に、両辺を$-1$から$1$まで積分します。

$\int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{1} (9x^2 + 3x + a) dx$

$a = \int_{-1}^{1} (9x^2 + 3x + a) dx$

$a = [3x^3 + \frac{3}{2}x^2 + ax]_{-1}^{1}$

$a = (3(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + a(1)) - (3(-1)^3 + \frac{3}{2}(-1)^2 + a(-1))$

$a = (3 + \frac{3}{2} + a) - (-3 + \frac{3}{2} - a)$

$a = 3 + \frac{3}{2} + a + 3 - \frac{3}{2} + a$

$a = 6 + 2a$

$-a = 6$

$a = -6$

したがって、$f(x) = 9x^2 + 3x - 6$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = 9x^2 + 3x - 6$