$\int_{a}^{x} f(t) dt = 2x^2 - 3x + 1$ を満たす関数 $f(t)$ と定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\int_{a}^{x} f(t) dt = 2x^2 - 3x + 1$ を満たす関数 $f(t)$ と定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分方程式の両辺を $x$ で微分します。

左辺は微積分学の基本定理より $f(x)$ になります。

右辺は $4x - 3$ になります。

よって、$f(x) = 4x - 3$ となります。したがって、$f(t) = 4t - 3$ です。

次に、$a$ の値を求めます。

積分範囲が $a$ から $x$ なので、$x=a$ を与えられた積分方程式に代入すると、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$

となることを利用します。

したがって、

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

という方程式が得られます。これを解くと、

$(2a - 1)(a - 1) = 0$

より、$a = 1$ または $a = \frac{1}{2}$ となります。

$f(x) = 4x - 3$ を元の積分方程式に代入すると、

$\int_a^x (4t-3) dt = [2t^2 - 3t]_a^x = 2x^2 - 3x - (2a^2 - 3a)$

与えられた式と等しくなるには

$2x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - 3x - (2a^2 - 3a)$

よって

$1 = -2a^2 + 3a$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

$(2a-1)(a-1) = 0$

$a = 1, 1/2$

次に、a=1の場合を考えると

$\int_1^x (4t-3)dt = 2x^2 - 3x + 1 = (2x-1)(x-1)$

a=1/2の場合を考えると

$\int_{1/2}^x (4t-3)dt = 2x^2 - 3x + 5/8 \ne 2x^2 - 3x + 1$

したがって $a=1$

3. 最終的な答え

$f(t) = 4t - 3$

$a = 1$