数列 $1, 4, 7, 10, \dots$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように分割する。第 $n$ 群の最後の数を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1, 4, 7, 10, \dots$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように分割する。第 $n$ 群の最後の数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列は初項が $1$ で公差が $3$ の等差数列である。この数列の第 $m$ 項 $a_m$ は

$a_m = 1 + 3(m-1) = 3m - 2$

で表される。

次に、第 $n$ 群までに含まれる項の総数 $N$ を求める。各群の項数はそれぞれ $1, 2, 3, \dots, n$ であるから、

$N = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

となる。

したがって、第 $n$ 群の最後の数は、元の等差数列の第 $N$ 項に相当する。すなわち、$m = N$ として $a_N$ を求めればよい。

$a_N = 3N - 2 = 3\left(\frac{n(n+1)}{2}\right) - 2 = \frac{3}{2}n(n+1) - 2$

3. 最終的な答え

第 $n$ 群の最後の数は $\frac{3}{2}n(n+1) - 2$ である。

よって、

キ = 3

ク = 2

ケ = 2