次の2つの定積分を計算し、分数で表してください。 (1) $\int_{-1}^{1} (x+2)^2 dx$ (2) $\int_{0}^{3} (2x^2-3x-2) dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算し、分数で表してください。

(1) $\int_{-1}^{1} (x+2)^2 dx$

(2) $\int_{0}^{3} (2x^2-3x-2) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{1} (x+2)^2 dx$ の計算

まず、$(x+2)^2$を展開します。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

次に、不定積分を計算します。

$\int (x^2 + 4x + 4) dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + C$

定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x\right]_{-1}^{1}$

$= \left(\frac{1}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 4(1)\right) - \left(\frac{1}{3}(-1)^3 + 2(-1)^2 + 4(-1)\right)$

$= \left(\frac{1}{3} + 2 + 4\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 4\right)$

$= \frac{1}{3} + 6 - \left(-\frac{1}{3} - 2\right)$

$= \frac{1}{3} + 6 + \frac{1}{3} + 2$

$= \frac{2}{3} + 8$

$= \frac{2}{3} + \frac{24}{3}$

$= \frac{26}{3}$

(2) $\int_{0}^{3} (2x^2-3x-2) dx$ の計算

不定積分を計算します。

$\int (2x^2 - 3x - 2) dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x + C$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{3} (2x^2 - 3x - 2) dx = \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x\right]_{0}^{3}$

$= \left(\frac{2}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 - 2(3)\right) - \left(\frac{2}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 - 2(0)\right)$

$= \frac{2}{3}(27) - \frac{3}{2}(9) - 6 - 0$

$= 18 - \frac{27}{2} - 6$

$= 12 - \frac{27}{2}$

$= \frac{24}{2} - \frac{27}{2}$

$= -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{26}{3}$

(2) $-\frac{3}{2}$