与えられた3次正方行列の2乗を計算する問題です。行列を$A$とすると、$A^2 = A \times A$を計算します。 $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3次正方行列の2乗を計算する問題です。行列を$A$とすると、$A^2 = A \times A$を計算します。

$A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の積を計算します。$A^2$の各成分は、$A$の行と$A$の列の内積で求められます。

$A^2 = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

各成分を計算します。

(1,1)成分: $(-2)(-2) + (2)(0) + (-2)(-1) = 4 + 0 + 2 = 6$

(1,2)成分: $(-2)(2) + (2)(-2) + (-2)(-2) = -4 - 4 + 4 = -4$

(1,3)成分: $(-2)(-2) + (2)(1) + (-2)(1) = 4 + 2 - 2 = 4$

(2,1)成分: $(0)(-2) + (-2)(0) + (1)(-1) = 0 + 0 - 1 = -1$

(2,2)成分: $(0)(2) + (-2)(-2) + (1)(-2) = 0 + 4 - 2 = 2$

(2,3)成分: $(0)(-2) + (-2)(1) + (1)(1) = 0 - 2 + 1 = -1$

(3,1)成分: $(-1)(-2) + (-2)(0) + (1)(-1) = 2 + 0 - 1 = 1$

(3,2)成分: $(-1)(2) + (-2)(-2) + (1)(-2) = -2 + 4 - 2 = 0$

(3,3)成分: $(-1)(-2) + (-2)(1) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1$

したがって、

$A^2 = \begin{pmatrix} 6 & -4 & 4 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 6 & -4 & 4 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$