初項が3、公比が2である等比数列$\{a_n\}$について、以下の2つの和を求める問題です。 (1) $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots + a_n^2$ (2) $a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_4 + \dots + a_{n-1}a_n + a_na_{n+1}$

1. 問題の内容

初項が3、公比が2である等比数列$\{a_n\}$について、以下の2つの和を求める問題です。

(1) $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots + a_n^2$

(2) $a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_4 + \dots + a_{n-1}a_n + a_na_{n+1}$

2. 解き方の手順

(1)

等比数列$\{a_n\}$の一般項は、$a_n = a_1 r^{n-1}$で表されるので、$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$となります。

したがって、$a_n^2 = (3 \cdot 2^{n-1})^2 = 9 \cdot 4^{n-1}$となります。

求める和は、初項が9、公比が4の等比数列の和であるから、等比数列の和の公式を用いて計算します。

等比数列の和の公式は$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$です。

したがって、

$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots + a_n^2 = \frac{9(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{9(4^n - 1)}{3} = 3(4^n - 1)$

(2)

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$より、

$a_na_{n+1} = (3 \cdot 2^{n-1})(3 \cdot 2^n) = 9 \cdot 2^{2n-1} = 9 \cdot 2^{2n} \cdot 2^{-1} = \frac{9}{2} \cdot 4^n$

求める和は、$\sum_{k=1}^{n} a_k a_{k+1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{9}{2} \cdot 4^k = \frac{9}{2} \sum_{k=1}^{n} 4^k$

$\sum_{k=1}^{n} 4^k$は初項が4、公比が4の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} 4^k = \frac{4(4^n - 1)}{4-1} = \frac{4(4^n - 1)}{3}$

したがって、

$a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_4 + \dots + a_{n-1}a_n + a_na_{n+1} = \frac{9}{2} \cdot \frac{4(4^n - 1)}{3} = \frac{36}{6} (4^n - 1) = 6(4^n - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $3(4^n - 1)$

(2) $6(4^n - 1)$