(1) 6人の生徒を1列に並べる方法は何通りあるか。 (2) 6人の生徒を3人、2人、1人の3組に分ける方法は何通りあるか。 (3) 6人の生徒から委員長、副委員長、書記を1人ずつ選出する方法は何通りあるか。 (4) 大小2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の数の積が12となる確率はいくらか。 (5) 5本のくじの中に2本の当たりくじがある。この中から2本のくじを同時に引くとき、1本が当たり、もう1本がはずれである確率はいくらか。 (6) 10本のくじの中に3本の当たりくじがある。この中から3本のくじを同時に引くとき、3本とも当たりである確率はいくらか。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 6人の生徒を1列に並べる方法は何通りあるか。

(2) 6人の生徒を3人、2人、1人の3組に分ける方法は何通りあるか。

(3) 6人の生徒から委員長、副委員長、書記を1人ずつ選出する方法は何通りあるか。

(4) 大小2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の数の積が12となる確率はいくらか。

(5) 5本のくじの中に2本の当たりくじがある。この中から2本のくじを同時に引くとき、1本が当たり、もう1本がはずれである確率はいくらか。

(6) 10本のくじの中に3本の当たりくじがある。この中から3本のくじを同時に引くとき、3本とも当たりである確率はいくらか。

2. 解き方の手順

(1) 6人の生徒を1列に並べる方法は、6人の順列を考えるので、

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通りです。

(2) 6人の生徒を3人、2人、1人の3組に分ける方法は、

まず6人から3人を選ぶ方法が $\binom{6}{3}$ 通り、

次に残りの3人から2人を選ぶ方法が $\binom{3}{2}$ 通り、

最後に残りの1人から1人を選ぶ方法が $\binom{1}{1}$ 通りです。

したがって、

$\binom{6}{3} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{3 \times 2}{2 \times 1} \times 1 = 20 \times 3 \times 1 = 60$ 通りです。

(3) 6人の生徒から委員長、副委員長、書記を1人ずつ選出する方法は、

委員長の選び方が6通り、副委員長の選び方が残りの5通り、書記の選び方が残りの4通りです。

したがって、

$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

(4) 大小2個のサイコロを同時に投げるとき、目の積が12になるのは、

(大, 小) = (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2) の4通りです。

サイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りなので、

確率は $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ です。

(5) 5本のくじの中に2本の当たりくじがあるとき、2本のくじを引いて1本が当たり、もう1本がはずれである確率は、

$\frac{\binom{2}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{5}{2}} = \frac{2 \times 3}{\frac{5 \times 4}{2 \times 1}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ です。

(6) 10本のくじの中に3本の当たりくじがあるとき、3本のくじを引いて3本とも当たりである確率は、

$\frac{\binom{3}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{1}{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{1}{\frac{720}{6}} = \frac{1}{120}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 60通り

(3) 120通り

(4) $\frac{1}{9}$

(5) $\frac{3}{5}$

(6) $\frac{1}{120}$