(1) 男子2人と女子3人の計5人を横一列に並べるとき、男子2人が隣り合う並べ方は何通りあるか。 (2) 男子3人と女子3人の計6人を横一列に並べるとき、男子と女子が交互に並ぶ並べ方は何通りあるか。 (3) AAABBCの6つの文字を一列に並べる並べ方は何通りあるか。 (4) 右の図のような道路で、A地点からB地点まで最短距離で行く方法のうち、交差点Pを通る方法は何通りあるか。 (5) 1枚の硬貨を4回投げるとき、表、裏がそれぞれ2回ずつ出る確率はいくらか。 (6) 赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して、その色を確かめてから袋に戻すという試行を3回繰り返す。このとき、赤玉が1回だけ出る確率はいくらか。

1. 問題の内容

(1) 男子2人と女子3人の計5人を横一列に並べるとき、男子2人が隣り合う並べ方は何通りあるか。

(2) 男子3人と女子3人の計6人を横一列に並べるとき、男子と女子が交互に並ぶ並べ方は何通りあるか。

(3) AAABBCの6つの文字を一列に並べる並べ方は何通りあるか。

(4) 右の図のような道路で、A地点からB地点まで最短距離で行く方法のうち、交差点Pを通る方法は何通りあるか。

(5) 1枚の硬貨を4回投げるとき、表、裏がそれぞれ2回ずつ出る確率はいくらか。

(6) 赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して、その色を確かめてから袋に戻すという試行を3回繰り返す。このとき、赤玉が1回だけ出る確率はいくらか。

2. 解き方の手順

(1)

男子2人をひとまとめにして1人と考えると、合計で4人を並べることになる。その並べ方は $4!$ 通り。

男子2人の並び方は $2!$ 通り。

よって、求める並べ方は $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ 通り。

(2)

男子3人と女子3人を交互に並べる場合、男子が最初になるか女子が最初になるかの2通りがある。

男子が最初のとき、男子の並び方は $3!$ 通り、女子の並び方は $3!$ 通り。

女子が最初のときも同様に、男子の並び方は $3!$ 通り、女子の並び方は $3!$ 通り。

よって、求める並べ方は $2 \times 3! \times 3! = 2 \times 6 \times 6 = 72$ 通り。

(3)

AAABBCの6つの文字を並べる場合の数は、同じものを含む順列の公式を用いる。

$\frac{6!}{3!1!1!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

(4)

AからPまでの最短経路は、右に2回、上に1回進むので、$\frac{3!}{2!1!} = \frac{6}{2} = 3$ 通り。

PからBまでの最短経路は、右に1回、上に2回進むので、$\frac{3!}{1!2!} = \frac{6}{2} = 3$ 通り。

よって、AからPを通ってBまで行く最短経路は $3 \times 3 = 9$ 通り。

(5)

1枚の硬貨を4回投げるとき、表と裏がそれぞれ2回ずつ出る確率は、反復試行の確率の公式を用いる。

4回中2回表が出る確率は、${}_4 C_2 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^2 = 6 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$。

(6)

赤玉4個と白玉2個が入っている袋から玉を1個取り出すとき、赤玉が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、白玉が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

3回繰り返す試行で、赤玉が1回だけ出る確率は、反復試行の確率の公式を用いる。

${}_3 C_1 \times (\frac{2}{3})^1 \times (\frac{1}{3})^2 = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$。

3. 最終的な答え

(1) 48

(2) 72

(3) 120

(4) 9

(5) $\frac{3}{8}$

(6) $\frac{2}{9}$