箱Aには白玉1個、黒玉2個が、箱Bには白玉2個、黒玉1個が入っている。箱Aと箱Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出す。取り出した玉の色が同じなら、取り出した玉を元の箱に戻す。色が異なるなら、取り出した玉を相手の箱に入れる。 (1) 操作を1回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が0個となる確率と1個となる確率を求める。 (2) 操作を2回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が1個となる確率を求める。 (3) 操作を2回行った後、箱Aに入っている白玉の個数をXとすると、Xの期待値を求める。

1. 問題の内容

箱Aには白玉1個、黒玉2個が、箱Bには白玉2個、黒玉1個が入っている。箱Aと箱Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出す。取り出した玉の色が同じなら、取り出した玉を元の箱に戻す。色が異なるなら、取り出した玉を相手の箱に入れる。

(1) 操作を1回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が0個となる確率と1個となる確率を求める。

(2) 操作を2回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が1個となる確率を求める。

(3) 操作を2回行った後、箱Aに入っている白玉の個数をXとすると、Xの期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aの白玉の個数が0になるのは、Aから白玉を取り出し、Bから黒玉を取り出す場合。

箱Aの白玉の個数が1になるのは、

(i) Aから白玉を取り出し、Bから白玉を取り出す場合。

(ii) Aから黒玉を取り出し、Bから黒玉を取り出す場合。

(iii) Aから黒玉を取り出し、Bから白玉を取り出し、次に操作を行ったときにAに白玉を戻す場合。

(2) 操作を2回行った後、箱Aの白玉が1個になるのは、(1)の結果を使って計算する。

(3) 箱Aに入っている白玉の個数Xは0, 1, 2のいずれか。それぞれの確率を求めて期待値を計算する。

まず、1回の操作後の箱Aの状態について考える。

* 箱Aの白玉が0個になる確率:

Aから白玉を取り出す確率は $1/3$、Bから黒玉を取り出す確率は $1/3$。よって確率は $(1/3) \times (1/3) = 1/9$。

* 箱Aの白玉が1個になる確率:

(i) Aから白玉を取り出す確率は $1/3$、Bから白玉を取り出す確率は $2/3$。よって確率は $(1/3) \times (2/3) = 2/9$。

(ii) Aから黒玉を取り出す確率は $2/3$、Bから黒玉を取り出す確率は $1/3$。よって確率は $(2/3) \times (1/3) = 2/9$。

よって箱Aの白玉が1個になる確率は $2/9 + 2/9 = 4/9$。

* 箱Aの白玉が2個になる確率:

Aから黒玉を取り出す確率は $2/3$、Bから白玉を取り出す確率は $2/3$。よって確率は $(2/3) \times (2/3) = 4/9$。

したがって、操作を1回行った後、箱Aに白玉が0個になる確率は $1/9$、1個になる確率は $4/9$、2個になる確率は $4/9$ である。

(2) 操作を2回行った後、箱Aに白玉が1個になる確率を求める。

初期状態(白玉1個)から、

(i) 1回目の操作で白玉が0個になり、2回目の操作で白玉が1個になる。確率は $(1/9) \times (2/3 \times 2/3) = 4/81$

(ii) 1回目の操作で白玉が1個のままで、2回目の操作でも白玉が1個のまま。確率は $(4/9) \times (4/9) = 16/81$

(iii) 1回目の操作で白玉が2個になり、2回目の操作で白玉が1個になる。確率は $(4/9) \times (1/3 \times 1/3) = 4/81$

よって、操作を2回行った後、箱Aに白玉が1個となる確率は $4/81 + 16/81 + 4/81 = 24/81 = 8/27$

1回操作後の白玉の個数の変化：

0 -> 1: 4/9

1 -> 0: 1/9

1 -> 1: 4/9

1 -> 2: 4/9

2 -> 1: 1/9

つまり

$P(X_2=1) = P(X_1=0)P(1|0) + P(X_1=1)P(1|1) + P(X_1=2)P(1|2)$

$P(X_2=1) = (1/9)(4/9) + (4/9)(4/9) + (4/9)(1/9) = (4+16+4)/81 = 24/81 = 8/27 = 32/81$

(3) 操作を2回行った後の白玉の個数Xの期待値を求める。

$P(X_2=0) = (1/9)(5/9) + (4/9)(1/9) + (4/9)(0) = 9/81 = 1/9$

$P(X_2=2) = (1/9)(0) + (4/9)(4/9) + (4/9)(8/9) = 48/81=16/27 = 48/81$

$E[X] = 0 * (9/81) + 1 * (32/81) + 2 * (40/81) = 32/81+80/81 = 112/81$

箱Aに白玉が0個となる確率は $1/9$。

箱Aに白玉が1個となる確率は $4/9$。

箱Aに白玉が1個となる確率は $32/81$。

期待値$E[X]= \sum x_i p_i = 0*P(X=0) + 1*P(X=1)+2*P(X=2)$.

$P(X=0)=\frac{1}{9}\cdot\frac{5}{9}+\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{9}+\frac{4}{9}\cdot 0 = \frac{9}{81}=\frac{1}{9}$

$P(X=1)=\frac{32}{81}$

$P(X=2)=1-\frac{1}{9}-\frac{32}{81} = \frac{81-9-32}{81}=\frac{40}{81}$

$E[X]=0+1\cdot\frac{32}{81}+2\cdot \frac{40}{81}=\frac{32+80}{81} = \frac{112}{81}$

期待値は112/81

3. 最終的な答え

19: $1/9$

20: $4/9$

21: $32/81$

22: $112/81$