母平均が$\mu$、母分散が$\sigma^2$である母集団からの無作為標本$X_1, X_2, ..., X_n$とし、標本平均を$\overline{X}$とする。ただし、$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$である。 (a) 期待値$E(\overline{X})$はいくらか。 (b) 分散$V(\overline{X})$はいくらか。

1. 問題の内容

母平均が$\mu$、母分散が$\sigma^2$である母集団からの無作為標本$X_1, X_2, ..., X_n$とし、標本平均を$\overline{X}$とする。ただし、$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$である。

(a) 期待値$E(\overline{X})$はいくらか。

(b) 分散$V(\overline{X})$はいくらか。

2. 解き方の手順

(a) 期待値$E(\overline{X})$を求める。

$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i)$

各$X_i$は母集団から無作為に抽出された標本であるため、$E(X_i) = \mu$となる。

よって、$E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu = \frac{1}{n} (n\mu) = \mu$

したがって、期待値$E(\overline{X})$は$\mu$である。

(b) 分散$V(\overline{X})$を求める。

$V(\overline{X}) = V\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} V\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)$

各$X_i$は独立であるため、$V\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i)$となる。

各$X_i$の分散は$\sigma^2$であるため、$V(X_i) = \sigma^2$となる。

よって、$V(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \frac{1}{n^2} (n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}$

したがって、分散$V(\overline{X})$は$\frac{\sigma^2}{n}$である。

3. 最終的な答え

(a) 期待値$E(\overline{X})$は$\mu$。選択肢①。

(b) 分散$V(\overline{X})$は$\frac{\sigma^2}{n}$。選択肢④。