与えられた標本から、母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求める問題です。具体的には、(a) 標本データの平均値を計算し、(b) 95%信頼区間を求めます。

1. 問題の内容

与えられた標本から、母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求める問題です。具体的には、(a) 標本データの平均値を計算し、(b) 95%信頼区間を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 標本データの平均値を計算します。

与えられたデータは、83, 84, 86, 95, 93, 96, 86, 91, 87, 90, 101, 76, 104, 90, 85 です。

データの個数は15個です。

平均値 $\bar{x}$ は、データの総和をデータ数で割ることで求められます。

$\bar{x} = \frac{83 + 84 + 86 + 95 + 93 + 96 + 86 + 91 + 87 + 90 + 101 + 76 + 104 + 90 + 85}{15}$

$\bar{x} = \frac{1347}{15} = 89.8$

したがって、データの平均値は89.8です。

(b) 母平均 $\mu$ の95%信頼区間を計算します。

母分散は未知ですが、標本サイズが比較的大きい（n=15）ため、t分布の代わりに標準正規分布を用いた近似が可能です。

問題文にも、標準正規分布の上側2.5%点 $z_{0.025} = 1.96$ を使用するように指示されています。

信頼区間は、次の式で計算できます。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$

ここで、

$\bar{x}$ は標本平均、

$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側$\alpha/2$パーセント点（この問題では1.96）、

$s$ は標本標準偏差、

$n$ は標本サイズです。

まず、標本標準偏差 $s$ を計算します。

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

$s = \sqrt{\frac{(83-89.8)^2 + (84-89.8)^2 + (86-89.8)^2 + (95-89.8)^2 + (93-89.8)^2 + (96-89.8)^2 + (86-89.8)^2 + (91-89.8)^2 + (87-89.8)^2 + (90-89.8)^2 + (101-89.8)^2 + (76-89.8)^2 + (104-89.8)^2 + (90-89.8)^2 + (85-89.8)^2}{15-1}}$

$s = \sqrt{\frac{46.24 + 33.64 + 14.44 + 27.04 + 10.24 + 38.44 + 14.44 + 1.44 + 7.84 + 0.04 + 125.44 + 190.44 + 201.64 + 0.04 + 23.04}{14}}$

$s = \sqrt{\frac{734.4}{14}} = \sqrt{52.457} \approx 7.24$

したがって、標本標準偏差は約7.24です。

次に、信頼区間を計算します。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 89.8 \pm 1.96 \cdot \frac{7.24}{\sqrt{15}}$

$= 89.8 \pm 1.96 \cdot \frac{7.24}{3.873} \approx 89.8 \pm 1.96 \cdot 1.869 \approx 89.8 \pm 3.66$

信頼区間の下限は $89.8 - 3.66 = 86.14$

信頼区間の上限は $89.8 + 3.66 = 93.46$

したがって、95%信頼区間は約 (86.14, 93.46) です。選択肢の中で最も近いのは (86.3, 93.3) です。

3. 最終的な答え

(a) 2

(b) 2