8枚のカード（1から8の番号付き）から1枚を引き、番号を確認して元に戻すという試行を2回行う。最初に引いたカードの番号をX、2回目に引いたカードの番号をYとする。 (1) $X+Y$が奇数となる確率と、$XY$が偶数となる確率を求める。 (2) $XY$が6の倍数となる確率を求める。 (3) $XY$が6の倍数であるとき、$X+Y$が奇数となる条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

8枚のカード（1から8の番号付き）から1枚を引き、番号を確認して元に戻すという試行を2回行う。最初に引いたカードの番号をX、2回目に引いたカードの番号をYとする。

(1) $X+Y$が奇数となる確率と、$XY$が偶数となる確率を求める。

(2) $XY$が6の倍数となる確率を求める。

(3) $XY$が6の倍数であるとき、$X+Y$が奇数となる条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X+Y$が奇数となるのは、$X$と$Y$の一方が奇数で他方が偶数のときである。

1から8のカードには、奇数が4枚（1,3,5,7）、偶数が4枚（2,4,6,8）ある。

全事象は$8 \times 8 = 64$通り。

$X$が奇数で$Y$が偶数の場合は$4 \times 4 = 16$通り。

$X$が偶数で$Y$が奇数の場合は$4 \times 4 = 16$通り。

したがって、$X+Y$が奇数となる場合は$16 + 16 = 32$通り。

$X+Y$が奇数となる確率は$32/64 = 1/2$

$XY$が偶数となるのは、$X$と$Y$の少なくとも一方が偶数のときである。

$XY$が奇数となるのは、$X$と$Y$が共に奇数のときである。

$X$と$Y$が共に奇数の場合の数は$4 \times 4 = 16$通り。

したがって、$XY$が偶数となるのは$64 - 16 = 48$通り。

$XY$が偶数となる確率は$48/64 = 3/4$

(2) $XY$が6の倍数となるのは、$X$または$Y$が6の倍数であるか、または$X$と$Y$の一方が2の倍数、もう一方が3の倍数であるときである。

全事象は$8 \times 8 = 64$通り。

$XY$が6の倍数にならない場合を考える。

$X$と$Y$のどちらも6の倍数でない組み合わせは以下の場合がある。

(a) $X$と$Y$のどちらも3の倍数を含まない(1,2,4,5,7,8のどれか)

(b) $X$と$Y$の少なくとも一方が奇数かつ3の倍数を含まない (1,5,7)

$XY$が6の倍数とならないのは、(a)の両方が3の倍数でない場合と、(b)の組み合わせ

$XY$が6の倍数とならないのは, $X$も$Y$も3の倍数と2の倍数を含まない場合。

つまり、$X$も$Y$も{1,2,3,4,5,6,7,8}から、3と6を取り除いた{1,2,4,5,7,8}から選ぶ場合と、3もしくは6の倍数が含まれるが、どちらかが奇数である場合である。

$XY$が6の倍数でないのは、$X$も$Y$も3の倍数を含まない{1,2,4,5,7,8}のとき $6 \times 6 = 36$通り

$XY$が6の倍数でないのは、$X$か$Y$のどちらかが3の倍数(3,6)で、かつ、どちらかが奇数(1,3,5,7)のとき

$3 \times \{1,2,3,4,5,6,7,8\} = \{3,6,9,12,15,18,21,24\}$ のように確認していくと6の倍数でないのは、$1\times1$, $1\times2$ , $1\times4$, $1\times5$, $1\times7$, $1\times8$,$2\times1$, $2\times5$, $2\times7$となる。また$3 \times \{1,2,4,5,7,8\} = \{3,6,12,15,21,24\}$。$6\times \{1,2,4,5,7,8\} = \{6,12,24,30,42,48\}$。つまり、全事象64から$1\times1=1$, $1\times5=5$, $1\times7=7$のように探すのは厳しい。

$XY$が6の倍数でないのは$XとY$のどちらかに3もしくは6が含まれず、さらにどちらも2の倍数でない場合である。

3の倍数と6の倍数がないのは{1,2,4,5,7,8}であり、全事象から除くと、$8\times8-6\times6=64-36=28$

$XY$が6の倍数となるのは、$64-36 = 28$通り

よって求める確率は、 $28/64 = 7/16$。

(3) $XY$が6の倍数であるという条件の下で、$X+Y$が奇数となる確率を求める。

$XY$が6の倍数となる組み合わせは28通り。

$X+Y$が奇数となるのは、$X$と$Y$の偶奇が異なる場合。

$XY$が6の倍数で、$X+Y$が奇数の場合を調べる。

この場合、$XとY$の組み合わせは以下。

(a) $X$が6の倍数で$Y$が奇数。$\{6\} \times \{1,3,5,7\} = 4$通り。

(b) $Y$が6の倍数で$X$が奇数。$\{1,3,5,7\} \times \{6\} = 4$通り。

(c) $X$が3の倍数で$Y$が2の倍数で奇数でない。$\{3\} \times \{2,4,8\} = 3$通り。

(d) $Y$が3の倍数で$X$が2の倍数で奇数でない。$\{2,4,8\} \times \{3\} = 3$通り。

(e) $X$が2の倍数で$Y$が3,6以外の場合。$\{2,4,8\} \times \{1,5,7\} = 9$通り。

(f) $Y$が2の倍数で$X$が3,6以外の場合。$\{1,5,7\} \times \{2,4,8\} = 9$通り。

(g) $X,Y$が3,6ではないが積が6の倍数になるもの. {2,4,8}{3,6},{3,6}{2,4,8}を除くと考えるのが難しい。

$XY$が6の倍数となる組み合わせは28通りだった。そのうち、$X+Y$が奇数となる場合を数える。

$XY$が6の倍数となるとき、$X+Y$が奇数となるのは$X$または$Y$が6の倍数であり、かつ$X$または$Y$のもう一方が奇数の場合である。

Xが6の倍数でYが奇数の場合: (6,1), (6,3), (6,5), (6,7) の4通り

Yが6の倍数でXが奇数の場合: (1,6), (3,6), (5,6), (7,6) の4通り

また、Xが3の倍数で、Yが偶数。Yは6の倍数ではない。 (3,2),(3,4),(3,8)の3通り

Yが3の倍数で、Xが偶数。Xは6の倍数ではない。(2,3),(4,3),(8,3)の3通り

よって、$4+4+3+3=14$通り。したがって確率は $14/28 = 1/2$

3. 最終的な答え

(1) 和X+Yが奇数である確率は、1/2

積XY が偶数である確率は、3/4

(2) 積XYが6の倍数である確率は、7/16

(3) 積 XYが6の倍数であるとき、和X+Yが奇数である確率は、1/2