母平均 $p$、母分散 $p(1-p)$ のベルヌーイ母集団からのサイズ3の標本変量 $(X_1, X_2, X_3)$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1+X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1+X_2+X_3}{3}$ を考える。 (a) 期待値 $E(T_1)$, $E(T_2)$, $E(T_3)$ の大小関係に関する記述の正誤を判定する。 (b) 分散 $V(T_1)$, $V(T_2)$, $V(T_3)$ の大小関係に関する記述の正誤を判定する。

1. 問題の内容

母平均 $p$、母分散 $p(1-p)$ のベルヌーイ母集団からのサイズ3の標本変量 $(X_1, X_2, X_3)$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1+X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1+X_2+X_3}{3}$ を考える。

(a) 期待値 $E(T_1)$, $E(T_2)$, $E(T_3)$ の大小関係に関する記述の正誤を判定する。

(b) 分散 $V(T_1)$, $V(T_2)$, $V(T_3)$ の大小関係に関する記述の正誤を判定する。

2. 解き方の手順

(a)

ベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i$ の期待値は $E(X_i) = p$ である。

したがって、

$E(T_1) = E(X_1) = p$

$E(T_2) = E(\frac{X_1+X_2}{2}) = \frac{1}{2}(E(X_1)+E(X_2)) = \frac{1}{2}(p+p) = p$

$E(T_3) = E(\frac{X_1+X_2+X_3}{3}) = \frac{1}{3}(E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)) = \frac{1}{3}(p+p+p) = p$

よって、$E(T_1) = E(T_2) = E(T_3) = p$ となる。したがって、正解は④。

(b)

ベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i$ の分散は $V(X_i) = p(1-p)$ である。また、各 $X_i$ は独立である。

したがって、

$V(T_1) = V(X_1) = p(1-p)$

$V(T_2) = V(\frac{X_1+X_2}{2}) = \frac{1}{4}(V(X_1)+V(X_2)) = \frac{1}{4}(p(1-p)+p(1-p)) = \frac{1}{2}p(1-p)$

$V(T_3) = V(\frac{X_1+X_2+X_3}{3}) = \frac{1}{9}(V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)) = \frac{1}{9}(p(1-p)+p(1-p)+p(1-p)) = \frac{1}{3}p(1-p)$

よって、$V(T_1) = p(1-p)$, $V(T_2) = \frac{1}{2}p(1-p)$, $V(T_3) = \frac{1}{3}p(1-p)$ となる。

したがって、$V(T_1) > V(T_2) > V(T_3)$ であるから、正解は③。

3. 最終的な答え

(a) ④

(b) ③