XとYのデータが与えられています。 (1) XとYの散布図を作成します。 (2) XとYの平均値、分散、標準偏差をそれぞれ求めます。 (3) XとYの共分散と相関係数を求めます。

1. 問題の内容

XとYのデータが与えられています。

(1) XとYの散布図を作成します。

(2) XとYの平均値、分散、標準偏差をそれぞれ求めます。

(3) XとYの共分散と相関係数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 散布図の作成

X軸をXの値、Y軸をYの値として、与えられたデータ $(25, 1), (-5, -3), (-15, -7), (5, 9), (40, 15)$ を座標平面上にプロットします。

(2) 平均値、分散、標準偏差の計算

まず、XとYそれぞれの平均値を求めます。

Xの平均値 $\bar{X}$:

$\bar{X} = \frac{25 + (-5) + (-15) + 5 + 40}{5} = \frac{50}{5} = 10$

Yの平均値 $\bar{Y}$:

$\bar{Y} = \frac{1 + (-3) + (-7) + 9 + 15}{5} = \frac{15}{5} = 3$

次に、XとYそれぞれの分散を求めます。

Xの分散 $V(X)$:

$V(X) = \frac{(25-10)^2 + (-5-10)^2 + (-15-10)^2 + (5-10)^2 + (40-10)^2}{5} = \frac{15^2 + (-15)^2 + (-25)^2 + (-5)^2 + 30^2}{5} = \frac{225 + 225 + 625 + 25 + 900}{5} = \frac{1900}{5} = 380$

Yの分散 $V(Y)$:

$V(Y) = \frac{(1-3)^2 + (-3-3)^2 + (-7-3)^2 + (9-3)^2 + (15-3)^2}{5} = \frac{(-2)^2 + (-6)^2 + (-10)^2 + 6^2 + 12^2}{5} = \frac{4 + 36 + 100 + 36 + 144}{5} = \frac{320}{5} = 64$

XとYそれぞれの標準偏差を求めます。

Xの標準偏差 $\sigma(X)$:

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{380} = 2\sqrt{95} \approx 19.49$

Yの標準偏差 $\sigma(Y)$:

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{64} = 8$

(3) 共分散と相関係数の計算

共分散 $Cov(X, Y)$を求めます。

$Cov(X, Y) = \frac{(25-10)(1-3) + (-5-10)(-3-3) + (-15-10)(-7-3) + (5-10)(9-3) + (40-10)(15-3)}{5} = \frac{15(-2) + (-15)(-6) + (-25)(-10) + (-5)(6) + 30(12)}{5} = \frac{-30 + 90 + 250 - 30 + 360}{5} = \frac{640}{5} = 128$

相関係数 $r$を求めます。

$r = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)} = \frac{128}{\sqrt{380} \times 8} = \frac{128}{8\sqrt{380}} = \frac{16}{\sqrt{380}} = \frac{16}{2\sqrt{95}} = \frac{8}{\sqrt{95}} \approx \frac{8}{9.747} \approx 0.821$

3. 最終的な答え

(1) 散布図： (25, 1), (-5, -3), (-15, -7), (5, 9), (40, 15) をプロットした図。

(2)

Xの平均値: 10

Xの分散: 380

Xの標準偏差: $2\sqrt{95} \approx 19.49$

Yの平均値: 3

Yの分散: 64

Yの標準偏差: 8

(3)

共分散: 128

相関係数: $\frac{8}{\sqrt{95}} \approx 0.821$