正の奇数の列を、第n群に $2^{n-1}$ 個の奇数が入るように群に分ける。このとき、第n群の最初の奇数を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第n群に $2^{n-1}$ 個の奇数が入るように群に分ける。このとき、第n群の最初の奇数を求める。

2. 解き方の手順

まず、第n群の最初の数が、奇数列の中で何番目の数かを考える。

第1群から第(n-1)群までの奇数の個数の合計を求める。これは、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-2}$

これは初項1、公比2の等比数列の和なので、

$\frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第n群の最初の数は、奇数列の中で$(2^{n-1}-1)+1 = 2^{n-1}$番目の数である。

奇数列のn番目の数は $2n-1$ で表されるので、第n群の最初の数は、

$2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

$2^n - 1$