正の奇数の列を、第$n$群に$2^{n-1}$個の奇数が入るように分けるとき、第$n$群の最初の奇数を求める問題です。選択肢は (a) $2^n - 1$, (b) $2^{n-1}$, (c) $2^n + 1$, (d) $2^n - n$ です。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第$n$群に$2^{n-1}$個の奇数が入るように分けるとき、第$n$群の最初の奇数を求める問題です。選択肢は (a) $2^n - 1$, (b) $2^{n-1}$, (c) $2^n + 1$, (d) $2^n - n$ です。

2. 解き方の手順

まず、各群に含まれる奇数の個数と、最初の奇数を調べます。

* 第1群：奇数の個数 $2^{1-1} = 2^0 = 1$、最初の奇数 1

* 第2群：奇数の個数 $2^{2-1} = 2^1 = 2$、最初の奇数 3

* 第3群：奇数の個数 $2^{3-1} = 2^2 = 4$、最初の奇数 7

* 第4群：奇数の個数 $2^{4-1} = 2^3 = 8$、最初の奇数 15

第$n$群の最初の奇数を$a_n$とすると、数列$\{a_n\}$は$1, 3, 7, 15, ...$となります。この数列の階差数列を考えると、

$3-1 = 2 = 2^1$

$7-3 = 4 = 2^2$

$15-7 = 8 = 2^3$

よって、第$n$群の最初の奇数から、第$n+1$群の最初の奇数を引くと、$2^n$になることが予想されます。

第$n$群の最初の奇数は、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$で表されます。ここで、$a_1 = 1$です。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$は初項2、公比2の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^n - 2$

したがって、$a_n = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

第$n$群の最初の奇数は $2^n - 1$ です。

答えは (a) です。