正の奇数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の奇数が入るようにグループ分けする。このとき、第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の奇数が入るようにグループ分けする。このとき、第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

2. 解き方の手順

まず、第 $n$ 群の最初の奇数が、奇数列の中で何番目に現れるかを考える。第 $n$ 群の最初の奇数は、第 $1$ 群から第 $(n-1)$ 群までの奇数の個数の和に $1$ を加えた順番の奇数である。

第 $k$ 群には $2^{k-1}$ 個の奇数が含まれるので、第 $1$ 群から第 $(n-1)$ 群までに含まれる奇数の個数の合計は、

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\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 2^0 + 2^1 + \dots + 2^{n-2}

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これは初項 $1$、公比 $2$、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

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\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1 \cdot (2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n-1} - 1

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したがって、第 $n$ 群の最初の奇数は、奇数列の中で $(2^{n-1} - 1) + 1 = 2^{n-1}$ 番目に現れる。

奇数列は $1, 3, 5, 7, \dots$ であり、これは初項 $1$、公差 $2$ の等差数列である。

したがって、奇数列の第 $m$ 項は $1 + (m-1) \cdot 2 = 2m - 1$ で表される。

第 $n$ 群の最初の奇数は、奇数列の第 $2^{n-1}$ 項なので、$m = 2^{n-1}$ を代入すると、その値は

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2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1

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3. 最終的な答え

第 $n$ 群の最初の奇数は $2^n - 1$ である。

選択肢(a)が正解。