曲線 $y = -x^2 + 3x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + 3x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 + 3x$ と $x$ 軸との交点を求める。$y = 0$ とおくと、

$$-x^2 + 3x = 0$$

$$x(-x + 3) = 0$$

よって、$x = 0$ または $x = 3$ となる。したがって、積分区間は $[0, 3]$ である。

次に、定積分を計算する。$0 \le x \le 3$ において、$-x^2 + 3x \ge 0$ なので、面積は

$$S = \int_0^3 (-x^2 + 3x) dx$$

$$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3$$

$$S = -\frac{1}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2) - \left( -\frac{1}{3}(0^3) + \frac{3}{2}(0^2) \right)$$

$$S = -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} - 0$$

$$S = -9 + \frac{27}{2}$$

$$S = \frac{-18 + 27}{2}$$

$$S = \frac{9}{2}$$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9}{2}$

(1) 9

(2) 2