$a = 2\log_3 2$, $b = \log_9 5$, $c = 1$ とするとき、$a, b, c$ の大小を不等号を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

$a = 2\log_3 2$, $b = \log_9 5$, $c = 1$ とするとき、$a, b, c$ の大小を不等号を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ を変形し、比較しやすい形にします。

$a = 2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$

$b = \log_9 5 = \frac{\log_3 5}{\log_3 9} = \frac{\log_3 5}{\log_3 3^2} = \frac{\log_3 5}{2} = \frac{1}{2} \log_3 5 = \log_3 5^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{5}$

$a = \log_3 4$

$b = \log_3 \sqrt{5}$

$c = 1 = \log_3 3$

底が3で1より大きいので、真数の大小関係がそのまま全体の大小関係となります。

$4 > \sqrt{5} > 3$

$\sqrt{5} \approx \sqrt{4} = 2$ より $\sqrt{5}$ は2より少し大きく、3よりは小さいです。

$a = \log_3 4 > \log_3 3 = 1 = c$

$b = \log_3 \sqrt{5} < \log_3 3 = 1 = c$

したがって $a > c > b$

3. 最終的な答え

$b < c < a$