曲線 $y = x^2(x-2)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2(x-2)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y=x^2(x-2)$ と $x$軸との交点を求めます。$y=0$ となる $x$ の値を求めると、$x^2(x-2) = 0$ より $x=0, 2$ です。

$x=0$ と $x=2$ の間で $y$ の値は負になるので、面積 $S$ は定積分を用いて次のように計算できます。

$S = -\int_{0}^{2} x^2(x-2) dx$

積分を実行します。

$S = -\int_{0}^{2} (x^3 - 2x^2) dx = -\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3\right]_0^2$

$S = -\left(\frac{1}{4}(2)^4 - \frac{2}{3}(2)^3\right) = -\left(\frac{1}{4}(16) - \frac{2}{3}(8)\right) = -\left(4 - \frac{16}{3}\right) = -\left(\frac{12}{3} - \frac{16}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{4}{3}$