曲線 $y = -x^2 + 4$ と $x$ 軸および直線 $x = 3$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + 4$ と $x$ 軸および直線 $x = 3$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = -x^2 + 4$ と $x$ 軸の交点を求めます。

$y = 0$ とすると、$-x^2 + 4 = 0$ となり、$x^2 = 4$ より、$x = \pm 2$ です。

したがって、積分区間は $x=2$ から $x=3$ です。

次に、面積を計算します。面積 $S$ は定積分で求められます。

$S = \int_2^3 (-x^2 + 4) dx$

この定積分を計算します。

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 4x \right]_2^3$

$x = 3$ のとき:

$-\frac{1}{3}(3)^3 + 4(3) = -\frac{1}{3}(27) + 12 = -9 + 12 = 3$

$x = 2$ のとき:

$-\frac{1}{3}(2)^3 + 4(2) = -\frac{8}{3} + 8 = \frac{-8+24}{3} = \frac{16}{3}$

$S = 3 - \frac{16}{3} = \frac{9-16}{3} = -\frac{7}{3}$

面積は負の値にならないので、面積を求める際は絶対値を取る必要があります。ただし、$x$軸よりも下に領域がある場合、定積分で負の値が出てきます。

$y = -x^2 + 4$ は区間 $[2, 3]$ で $y > 0$ であるため、$x$軸との間の面積は正になります。

この問題では、定積分した結果が負の値になっているので、積分範囲がおかしいか、関数の符号が間違っているかのどちらかです。

問題文を確認すると、$y = -x^2 + 4$ なので、積分範囲は $[2, 3]$ で正しいはずです。

したがって、正しくは

$S = \int_2^3 (-x^2 + 4) dx = \left| -\frac{1}{3}x^3 + 4x \right|_2^3 = \left| (3) - (\frac{16}{3}) \right| = \left|-\frac{7}{3}\right| = \frac{7}{3}$.

3. 最終的な答え

$S = \frac{7}{3}$