直線 $l$ は $y = ax$ のグラフ、直線 $m$ は $y = -x + 15$ のグラフである。点Aは直線 $l$ 上の点で、その座標は $(8, 12)$ である。直線 $m$ と $y$ 軸との交点をB、直線 $l$ と直線 $m$ との交点をCとする。以下の問いに答えよ。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) 点Cの座標を求めよ。 (3) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l$ は $y = ax$ のグラフ、直線 $m$ は $y = -x + 15$ のグラフである。点Aは直線 $l$ 上の点で、その座標は $(8, 12)$ である。直線 $m$ と $y$ 軸との交点をB、直線 $l$ と直線 $m$ との交点をCとする。以下の問いに答えよ。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 点Cの座標を求めよ。

(3) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A $(8, 12)$ は直線 $y = ax$ 上にあるので、この座標を代入して $a$ の値を求める。

$12 = 8a$

$a = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

したがって、$a = \frac{3}{2}$。

(2) 点Cは直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式を解いてその座標を求める。

$y = \frac{3}{2}x$

$y = -x + 15$

$\frac{3}{2}x = -x + 15$

$3x = -2x + 30$

$5x = 30$

$x = 6$

$y = -6 + 15 = 9$

したがって、点Cの座標は $(6, 9)$。

(3) 点Bは直線 $y = -x + 15$ と $y$ 軸との交点なので、$x = 0$ を代入すると、

$y = -0 + 15 = 15$

したがって、点Bの座標は $(0, 15)$。

$\triangle ABC$ の面積は、線分 $BC$ を底辺と考えると、高さは点Aの $x$ 座標となる。

$BC$ の長さは、$15 - 9 = 6$。

したがって、$\triangle ABC$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3}{2}$

(2) C $(6, 9)$

(3) $\triangle ABC = 24$