ある選挙の調査で、有権者から無作為抽出した900人について候補者Aの支持者を調べたところ90人だった。候補者Aの支持者の母比率 $p$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある選挙の調査で、有権者から無作為抽出した900人について候補者Aの支持者を調べたところ90人だった。候補者Aの支持者の母比率 $p$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

母比率 $p$ の信頼区間は、標本比率 $\hat{p}$ と標準誤差を用いて計算できる。信頼度95%の場合、信頼係数は1.96を用いる。

まず、標本比率 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{90}{900} = 0.1$

次に、標準誤差を計算する。

標準誤差 $= \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$n$ はサンプルサイズである。

標準誤差 $= \sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{900}} = \sqrt{\frac{0.1 \times 0.9}{900}} = \sqrt{\frac{0.09}{900}} = \sqrt{0.0001} = 0.01$

信頼区間の上限と下限を計算する。

信頼区間 $= \hat{p} \pm 1.96 \times \text{標準誤差}$

信頼区間の下限 $= 0.1 - 1.96 \times 0.01 = 0.1 - 0.0196 = 0.0804$

信頼区間の上限 $= 0.1 + 1.96 \times 0.01 = 0.1 + 0.0196 = 0.1196$

3. 最終的な答え

信頼度95%の信頼区間は、[0.0804, 0.1196] である。