原点から出発して数直線上を動く点Pがある。硬貨を投げて表が出たら+3、裏が出たら-2だけ移動する。硬貨を3回投げ終わったときの表の出た回数をX、点Pの座標をYとする。Yの期待値 $E[Y]$ を求めよ。

1. 問題の内容

原点から出発して数直線上を動く点Pがある。硬貨を投げて表が出たら+3、裏が出たら-2だけ移動する。硬貨を3回投げ終わったときの表の出た回数をX、点Pの座標をYとする。Yの期待値 $E[Y]$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、YをXで表すことを考える。3回硬貨を投げて、表がX回出たとき、裏は(3-X)回出る。したがって、点Pの座標Yは、

$Y = 3X + (-2)(3-X) = 3X - 6 + 2X = 5X - 6$

となる。

次に、表の出る回数Xの期待値 $E[X]$ を求める。

硬貨を1回投げたときに表が出る確率は $1/2$ である。

3回硬貨を投げる試行において、表の出る回数Xは二項分布に従う。すなわち $X \sim B(3, 1/2)$ である。

二項分布の期待値は $E[X] = np$ であり、ここでは $n=3$、$p=1/2$ なので、

$E[X] = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

となる。

最後に、Yの期待値 $E[Y]$ を求める。YはXの一次式で表されるので、期待値の線形性より、

$E[Y] = E[5X - 6] = 5E[X] - 6$

$E[Y] = 5 \times \frac{3}{2} - 6 = \frac{15}{2} - \frac{12}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$