赤玉3個、白玉10個が入った袋から、玉を1個ずつ3個取り出す。取り出した玉は元に戻さない。このとき、取り出した玉がすべて赤玉である確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉3個、白玉10個が入った袋から、玉を1個ずつ3個取り出す。取り出した玉は元に戻さない。このとき、取り出した玉がすべて赤玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、全事象の場合の数を考えます。袋の中に全部で13個の玉が入っており、そこから3個取り出すので、全事象の場合の数は$_{13}P_3$で計算できます。

$_{13}P_3 = 13 \times 12 \times 11 = 1716$

次に、取り出した3個の玉がすべて赤玉である場合の数を考えます。赤玉は全部で3個あるので、3個の赤玉の中から3個を取り出す順列は$_{3}P_3$で計算できます。

$_{3}P_3 = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、求める確率は、

$P = \frac{_{3}P_3}{_{13}P_3} = \frac{6}{1716} = \frac{1}{286}$

または、以下のように考えることもできます。

1回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{13}$ です。

1回目に赤玉を取り出したとき、残りの玉は赤玉2個、白玉10個の計12個です。

2回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{12}$ です。

1回目と2回目に赤玉を取り出したとき、残りの玉は赤玉1個、白玉10個の計11個です。

3回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{1}{11}$ です。

したがって、求める確率は、

$P = \frac{3}{13} \times \frac{2}{12} \times \frac{1}{11} = \frac{3 \times 2 \times 1}{13 \times 12 \times 11} = \frac{6}{1716} = \frac{1}{286}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{286}$