問題は2つの部分から構成されています。 (1) 直角三角形が与えられ、$sin\theta$, $cos\theta$, $tan\theta$の値を求める。 (2) $\theta$が鈍角であり、$cos\theta = -\frac{3}{4}$のとき、$sin\theta$と$tan\theta$の値を求める。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) 直角三角形が与えられ、$sin\theta$, $cos\theta$, $tan\theta$の値を求める。

(2) $\theta$が鈍角であり、$cos\theta = -\frac{3}{4}$のとき、$sin\theta$と$tan\theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直角三角形において、$\theta$に対する各辺の長さが与えられている。

$AB = 1$, $BC = \sqrt{2}$である。

まず、$AC$の長さをピタゴラスの定理を用いて求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$

よって、$AC = \sqrt{3}$である。

$sin\theta = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cos\theta = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$tan\theta = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\theta$が鈍角で、$cos\theta = -\frac{3}{4}$のとき、$sin\theta$と$tan\theta$の値を求める。

$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$より、

$sin^2\theta = 1 - cos^2\theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16-9}{16} = \frac{7}{16}$

$\theta$は鈍角なので、$sin\theta > 0$であるから、

$sin\theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

$sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)

$sin\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$tan\theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$