問題は次の2つです。 (1) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。 (2) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ を求める。 (3) $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

1. 問題の内容

問題は次の2つです。

(1) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。

(2) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ を求める。

(3) $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、三角関数の値から $60^\circ$ であることがわかる。また、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲では、$\sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta$ が成り立つので、$\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ も解となる。

(2)

$\tan \theta = -1$ となる $\theta$ は、三角関数の値から $135^\circ$ であることがわかる。

$\tan \theta$ が負の値を取るのは、第2象限の角なので $90^\circ < \theta < 180^\circ$ になる。

$\tan 135^\circ = -1$ である。

(3)

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$ の関係を使うと、

$\sin 115^\circ = \sin (180^\circ - 115^\circ) = \sin 65^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(2) $\theta = 135^\circ$

(3) $\sin 115^\circ = \sin 65^\circ$