SENSEI AI
About App

## 問題の内容

解析学微分極値導関数極大極小
2025/5/10
## 問題の内容
与えられた4つの関数について、それぞれの極値を求める問題です。
(1) f(x)=x44−x33−2x2+4xf(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x
(2) f(x)=−x44+53x3−x2−8x+1f(x) = -\frac{x^4}{4} + \frac{5}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1
(3) f(x)=xlog⁡xf(x) = x \log x
(4) f(x)=x(x−1)23f(x) = x \sqrt[3]{(x-1)^2}
## 解き方の手順
各関数について、以下の手順で極値を求めます。

1. 導関数 $f'(x)$ を計算する。

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める（臨界点）。

3. 第二導関数 $f''(x)$ を計算する。

4. 各臨界点 $x$ における $f''(x)$ の符号を調べる。

* f′′(x)>0f''(x) > 0 ならば、その点で極小値をとる。
* f′′(x)<0f''(x) < 0 ならば、その点で極大値をとる。
* f′′(x)=0f''(x) = 0 ならば、さらに高階の導関数を調べるか、増減表を作成して極値を判断する。

5. 極値を与える $x$ を元の関数 $f(x)$ に代入して、極値を求める。

### (1) f(x)=x44−x33−2x2+4xf(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x

1. $f'(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$

2. $f'(x) = 0$ を解く。 $x^3 - x^2 - 4x + 4 = (x-1)(x-2)(x+2) = 0$ より、$x = 1, 2, -2$

3. $f''(x) = 3x^2 - 2x - 4$

4. 各臨界点での $f''(x)$ の符号を調べる。

* f′′(1)=3−2−4=−3<0f''(1) = 3 - 2 - 4 = -3 < 0 より、x=1x=1 で極大値。
* f′′(2)=3(4)−2(2)−4=12−4−4=4>0f''(2) = 3(4) - 2(2) - 4 = 12 - 4 - 4 = 4 > 0 より、x=2x=2 で極小値。
* f′′(−2)=3(4)−2(−2)−4=12+4−4=12>0f''(-2) = 3(4) - 2(-2) - 4 = 12 + 4 - 4 = 12 > 0 より、x=−2x=-2 で極小値。

5. 極値を求める。

* f(1)=14−13−2+4=3−4−24+4812=2312f(1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 2 + 4 = \frac{3-4-24+48}{12} = \frac{23}{12} （極大値）
* f(2)=164−83−2(4)+4(2)=4−83−8+8=4−83=43f(2) = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 2(4) + 4(2) = 4 - \frac{8}{3} - 8 + 8 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} （極小値）
* f(−2)=164−−83−2(4)+4(−2)=4+83−8−8=−12+83=−36+83=−283f(-2) = \frac{16}{4} - \frac{-8}{3} - 2(4) + 4(-2) = 4 + \frac{8}{3} - 8 - 8 = -12 + \frac{8}{3} = \frac{-36+8}{3} = -\frac{28}{3} （極小値）
### (2) f(x)=−x44+53x3−x2−8x+1f(x) = -\frac{x^4}{4} + \frac{5}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1

1. $f'(x) = -x^3 + 5x^2 - 2x - 8$

2. $f'(x) = 0$ を解く。 $f'(2) = -8 + 20 - 4 - 8 = 0$ なので、$x=2$ は解の一つ。 $f'(x) = -(x-2)(x^2 -3x -4) = -(x-2)(x-4)(x+1) = 0$ より、$x = 2, 4, -1$

3. $f''(x) = -3x^2 + 10x - 2$

4. 各臨界点での $f''(x)$ の符号を調べる。

* f′′(2)=−3(4)+10(2)−2=−12+20−2=6>0f''(2) = -3(4) + 10(2) - 2 = -12 + 20 - 2 = 6 > 0 より、x=2x=2 で極小値。
* f′′(4)=−3(16)+10(4)−2=−48+40−2=−10<0f''(4) = -3(16) + 10(4) - 2 = -48 + 40 - 2 = -10 < 0 より、x=4x=4 で極大値。
* f′′(−1)=−3(1)+10(−1)−2=−3−10−2=−15<0f''(-1) = -3(1) + 10(-1) - 2 = -3 - 10 - 2 = -15 < 0 より、x=−1x=-1 で極大値。

5. 極値を求める。

* f(2)=−164+53(8)−4−8(2)+1=−4+403−4−16+1=−23+403=−69+403=−293f(2) = -\frac{16}{4} + \frac{5}{3}(8) - 4 - 8(2) + 1 = -4 + \frac{40}{3} - 4 - 16 + 1 = -23 + \frac{40}{3} = \frac{-69 + 40}{3} = -\frac{29}{3} （極小値）
* f(4)=−2564+53(64)−16−8(4)+1=−64+3203−16−32+1=−111+3203=−333+3203=−133f(4) = -\frac{256}{4} + \frac{5}{3}(64) - 16 - 8(4) + 1 = -64 + \frac{320}{3} - 16 - 32 + 1 = -111 + \frac{320}{3} = \frac{-333+320}{3} = -\frac{13}{3} （極大値）
* f(−1)=−14+53(−1)−1−8(−1)+1=−14−53−1+8+1=8−3+2012=8−2312=96−2312=7312f(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{5}{3}(-1) - 1 - 8(-1) + 1 = -\frac{1}{4} - \frac{5}{3} - 1 + 8 + 1 = 8 - \frac{3+20}{12} = 8 - \frac{23}{12} = \frac{96-23}{12} = \frac{73}{12} （極大値）
### (3) f(x)=xlog⁡xf(x) = x \log x
定義域は x>0x > 0.

1. $f'(x) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

2. $f'(x) = 0$ を解く。 $\log x + 1 = 0 \Rightarrow \log x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. $f''(x) = \frac{1}{x}$

4. 臨界点での $f''(x)$ の符号を調べる。 $f''(\frac{1}{e}) = \frac{1}{1/e} = e > 0$ より、$x=\frac{1}{e}$ で極小値。

5. 極値を求める。 $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} (-\log e) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$ （極小値）

### (4) f(x)=x(x−1)23=x(x−1)2/3f(x) = x \sqrt[3]{(x-1)^2} = x (x-1)^{2/3}

1. $f'(x) = (x-1)^{2/3} + x \cdot \frac{2}{3}(x-1)^{-1/3} = (x-1)^{2/3} + \frac{2x}{3(x-1)^{1/3}} = \frac{3(x-1) + 2x}{3(x-1)^{1/3}} = \frac{5x-3}{3(x-1)^{1/3}}$

2. $f'(x) = 0$ となるのは $5x-3 = 0$ のとき、つまり $x = \frac{3}{5}$。 また、$x = 1$ で $f'(x)$ は定義されないが、$x=1$ の前後で符号が変わるので臨界点。

3. $f''(x) = \frac{5 \cdot 3(x-1)^{1/3} - (5x-3) \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(x-1)^{-2/3}}{9(x-1)^{2/3}} = \frac{15(x-1) - (5x-3)}{9(x-1)^{4/3}} = \frac{10x - 12}{9(x-1)^{4/3}} = \frac{2(5x-6)}{9(x-1)^{4/3}}$

4. 臨界点での $f''(x)$ の符号を調べる。

* x=35x = \frac{3}{5} のとき、f′′(35)=2(5(35)−6)9(35−1)4/3=2(3−6)9(−25)4/3=−69(25)4/3<0f''(\frac{3}{5}) = \frac{2(5(\frac{3}{5}) - 6)}{9(\frac{3}{5}-1)^{4/3}} = \frac{2(3-6)}{9(-\frac{2}{5})^{4/3}} = \frac{-6}{9(\frac{2}{5})^{4/3}} < 0 より、x=35x = \frac{3}{5} で極大値。
* x=1x = 1 のとき、f′′(1)f''(1) は定義されない。x<1x<1のとき、f′(x)<0f'(x)<0、x>1x>1のとき、f′(x)>0f'(x)>0なので、x=1x=1 で極小値。

5. 極値を求める。

* f(35)=35(35−1)2/3=35(−25)2/3=35(425)1/3=354253f(\frac{3}{5}) = \frac{3}{5} (\frac{3}{5} - 1)^{2/3} = \frac{3}{5} (-\frac{2}{5})^{2/3} = \frac{3}{5} (\frac{4}{25})^{1/3} = \frac{3}{5} \sqrt[3]{\frac{4}{25}} （極大値）
* f(1)=1(1−1)2/3=0f(1) = 1(1-1)^{2/3} = 0 （極小値）
## 最終的な答え
(1)
* x=1x = 1 で極大値 2312\frac{23}{12}
* x=2x = 2 で極小値 43\frac{4}{3}
* x=−2x = -2 で極小値 −283-\frac{28}{3}
(2)
* x=2x = 2 で極小値 −293-\frac{29}{3}
* x=4x = 4 で極大値 −133-\frac{13}{3}
* x=−1x = -1 で極大値 7312\frac{73}{12}
(3)
* x=1ex = \frac{1}{e} で極小値 −1e-\frac{1}{e}
(4)
* x=35x = \frac{3}{5} で極大値 354253\frac{3}{5} \sqrt[3]{\frac{4}{25}}
* x=1x = 1 で極小値 00

「解析学」の関連問題

無限等比数列 $1, -(x^2-2), (x^2-2)^2, -(x^2-2)^3, \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める。

無限等比数列収束極限値不等式
2025/5/10

与えられた逆三角関数や三角関数を含む式の値を求める問題です。具体的には以下の5つの値を求めます。 (1) $\arccos \sqrt{3}$ (2) $\arctan (\tan \sqrt{3})...

逆三角関数三角関数加法定理三角関数の倍角公式値域
2025/5/10

$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ が成り立つことを示す。

積分定積分積分計算
2025/5/10

次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。 (1) $\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3...

無限級数収束発散極限telescoping series
2025/5/10

$0$以上の実数$a$に対して、$f(a) = \int_0^a |x^2 - 3| dx$ とおく。 (1) $0 \le a \le \sqrt{3}$ のとき、$f(a)$ を求めよ。 (2) ...

定積分絶対値積分関数
2025/5/10

$\pi \le \theta \le 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin\theta + \cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta\cos\theta$ について、 ...

三角関数三角関数の合成関数の最大最小不等式
2025/5/10

与えられた逆三角関数、三角関数の値を求めます。問題は以下の5つです。 (1) $\arccos \sqrt{3}$ (2) $\arctan(\tan \sqrt{3})$ (3) $\arccos(...

逆三角関数三角関数加法定理値域三角関数の合成
2025/5/10

$a > 0$ のとき、関数 $f(a) = a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値を求める問題です。

関数の最小値相加相乗平均不等式微分
2025/5/10

(1) 関数 $f(x) = \frac{\sqrt{ax - 4} - 9}{x - 5}$ が $x \to 5$ のとき収束するように、$a$ の値を定め、そのときの極限値を求めます。 (2) ...

極限関数の極限有理化
2025/5/10

実数 $a$ を係数に持つ3次方程式 $x^3 - a^2x + a = 0$ が、相異なる3つの実数解を持つとき、$a$ の範囲を求めよ。

三次方程式微分極値実数解
2025/5/10