一辺が $h$ mの正方形の池の周りに、幅10 mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る線全体の長さを $l$ mとするとき、$S = 10l$ であることを証明する。

1. 問題の内容

一辺が $h$ mの正方形の池の周りに、幅10 mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る線全体の長さを $l$ mとするとき、$S = 10l$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を計算する。

道の外側の正方形の一辺の長さは $h + 2 \times 10 = h + 20$ mである。

したがって、道の面積 $S$ は、外側の正方形の面積から池の面積を引いたものになる。

$S = (h + 20)^2 - h^2$

$S = h^2 + 40h + 400 - h^2$

$S = 40h + 400$

次に、道の中央を通る線全体の長さ $l$ を計算する。

道の中央を通る正方形の一辺の長さは $h + 10$ mである。

したがって、道の中央を通る線全体の長さ $l$ は、

$l = 4(h + 10)$

$l = 4h + 40$

ここで、$S = 40h + 400$ を $l$ で表すことを考える。

$l = 4h + 40$ より、

$4h = l - 40$

$h = \frac{l}{4} - 10$

これを$S$の式に代入する。

$S = 40h + 400 = 10(4h) + 400$

$S = 10(l - 40) + 400$

$S = 10l - 400 + 400$

$S = 10l$

3. 最終的な答え

したがって、$S = 10l$ であることが証明された。