(17) $3(1 + \sin x) \le 2\cos^2 x$ (18) $\sin(x + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

(17) $3(1 + \sin x) \le 2\cos^2 x$

(18) $\sin(x + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(17)

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて、不等式を $\sin x$ の式に書き換えます。

$3(1 + \sin x) \le 2(1 - \sin^2 x)$

$3 + 3\sin x \le 2 - 2\sin^2 x$

$2\sin^2 x + 3\sin x + 1 \le 0$

$(\sin x + 1)(2\sin x + 1) \le 0$

$-1 \le \sin x \le -\frac{1}{2}$

$\sin x = -1$ のとき $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数)

$\sin x = -\frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$ または $x = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$は整数)

したがって、$\sin x$ が $-1 \le \sin x \le -\frac{1}{2}$ となるのは、$\frac{7\pi}{6} + 2n\pi \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$は整数)です。

(18)

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ または $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$は整数)です。

したがって、$x + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ または $x + \frac{\pi}{3} \ge \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$は整数)となります。

$x \le \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $x \ge \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ ($n$は整数)

$x \le -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$ または $x \ge \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数)

3. 最終的な答え

(17) $\frac{7\pi}{6} + 2n\pi \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$は整数)

(18) $x \le -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$ または $x \ge \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数)