四角形ABCDが平行四辺形で、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとするとき、AF:FEと、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDが平行四辺形で、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとするとき、AF:FEと、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、AF:FEを求める。

平行四辺形ABCDにおいて、BE = ECである。

また、平行四辺形の対角線は互いの中点で交わるので、BO = ODである。

三角形BCEにおいて、BE:BC = 1:2。

三角形BODにおいて、BF:FD = BE:AD。

AD = BCであるから、BF:FD = BE:BC = 1:2となる。

次に、三角形ABEにおいて、BF:BD = 1:3となる。

次に、メネラウスの定理を三角形BODと直線AEに適用する。

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CA}{AO} \cdot \frac{OF}{FB} = 1$

$BE/EC = 1$であり、$BO = OD$より$DO:OB=1$である。

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CD}{DO} \cdot \frac{OF}{FB} = 1$

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CD}{DO} \cdot \frac{OA}{AF} = 1$

三角形BFEと三角形AFDにおいて

$\frac{BF}{FD} \cdot \frac{DA}{AE} \cdot \frac{EC}{CB} = 1$

$\frac{BF}{FD} = \frac{BE}{AD}$

$\frac{AF}{FE} = \frac{3}{1}$

次に、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める。

平行四辺形ABCDの面積をSとする。

三角形ABOの面積はS/4である。

三角形AFOの面積は、三角形ABOの面積 * (AF/AE)

三角形AFOの面積は、(S/4) * (3/4) = 3S/16

したがって、三角形AFO : 平行四辺形ABCD = (3S/16) : S = 3:16

3. 最終的な答え

AF:FE = 3:1

三角形AFO : 平行四辺形ABCD = 3:16