与えられた多項式 $x^3y^2 + x^2y^3 + (2xy + 1)(x + y)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^3y^2 + x^2y^3 + (2xy + 1)(x + y)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$x^3y^2 + x^2y^3 + (2xy + 1)(x + y) = x^3y^2 + x^2y^3 + 2x^2y^2 + 2xy^2 + x + y$

次に、共通因数でくくったり、項の組み合わせを変えたりして、因数分解を試みます。

$x^3y^2 + x^2y^3 + 2x^2y^2 + 2xy^2 + x + y = x^2y^2(x+y) + 2xy(xy+y) + x + y$

$x^2y^2(x+y) + 2x^2y^2 + 2xy^2 + x + y = x^2y^2(x+y+2) + 2xy^2 + x + y$

与式を $x+y$ が現れるように変形していきます。

$x^3y^2 + x^2y^3 + (2xy + 1)(x + y) = x^2y^2(x+y) + (2xy+1)(x+y) = (x+y)(x^2y^2 + 2xy + 1)$

ここで、$x^2y^2 + 2xy + 1 = (xy)^2 + 2(xy) + 1 = (xy+1)^2$ と因数分解できます。

したがって、

$x^3y^2 + x^2y^3 + (2xy + 1)(x + y) = (x+y)(xy+1)^2$

3. 最終的な答え

$(x+y)(xy+1)^2$