男子5人、女子3人の中から4人の委員を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。 (1) すべての選び方 (2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。 (3) 女子が少なくとも1人選ばれる。 (4) 特定の2人a, bがともに選ばれる。

1. 問題の内容

男子5人、女子3人の中から4人の委員を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。

(1) すべての選び方

(2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる。

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる。

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

男子5人、女子3人、合計8人の中から4人を選ぶ組み合わせを求める。これは、組み合わせの公式 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使用する。

$8C4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。

男子5人から2人を選ぶ組み合わせは $5C2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

女子3人から2人を選ぶ組み合わせは $3C2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

したがって、求める組み合わせの数は $10 \times 3 = 30$

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる。

これは、すべての選び方から女子が1人も選ばれない選び方を引くことで求められる。

すべての選び方は(1)で求めたように70通り。

女子が1人も選ばれない選び方は、男子5人から4人を選ぶ組み合わせであり、$5C4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$

したがって、女子が少なくとも1人選ばれる選び方は $70 - 5 = 65$

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる。

a, bが選ばれているので、残りの2人を選ぶ必要がある。

残りの委員の候補者は6人（男子5人 + 女子3人 - a - b）

この6人から2人を選ぶ組み合わせは $6C2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

3. 最終的な答え

(1) 70通り

(2) 30通り

(3) 65通り

(4) 15通り