袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。赤、青、黄色の皿がそれぞれ1枚ずつある。袋から1個ずつ3個の玉を取り出し、取り出した順に各色の皿に置く。皿と玉の色が一致している皿の数をXとする。 (1) X=3となる確率を求めよ。 (2) X=2となる確率を求めよ。 (3) Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。赤、青、黄色の皿がそれぞれ1枚ずつある。袋から1個ずつ3個の玉を取り出し、取り出した順に各色の皿に置く。皿と玉の色が一致している皿の数をXとする。

(1) X=3となる確率を求めよ。

(2) X=2となる確率を求めよ。

(3) Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) X=3となる確率を求める。

X=3となるのは、取り出した玉の色が順番に赤、青、黄となる場合のみである。

まず、3個の玉を取り出す順番は全部で $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りある。

X=3となるのは、1番目に赤玉、2番目に青玉、3番目に黄玉を取り出す場合である。

1番目に赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{6}$。

2番目に青玉を取り出す確率は $\frac{2}{5}$。

3番目に黄玉を取り出す確率は $\frac{1}{4}$。

したがって、X=3となる確率は、$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$。

(2) X=2となる確率を求める。

X=2となるのは、3つのうち2つの玉の色が一致する場合である。

3つの玉の取り出し方は $6 \times 5 \times 4 = 120$通り。

(i) 1番目と2番目が一致する場合：

赤赤青、赤赤黄、青青赤、青青黄

赤赤青：$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{12}{120}$

赤赤黄：$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

青青赤：$\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{120}$

青青黄：$\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{120}$

(ii) 1番目と3番目が一致する場合：

赤青赤、赤黄赤、青赤青、青黄青、黄赤黄、黄青黄

赤青赤：$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{12}{120}$

赤黄赤：$\frac{3}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{120}$

青赤青：$\frac{2}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

青黄青：$\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{120}$

黄赤黄：$\frac{1}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{0}{4} = 0$

黄青黄：$\frac{1}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{0}{4} = 0$

(iii) 2番目と3番目が一致する場合：

赤青青、赤黄黄、青赤赤、青黄黄、黄赤赤、黄青青

赤青青：$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

赤黄黄：$\frac{3}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{0}{4} = 0$

青赤赤：$\frac{2}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{12}{120}$

青黄黄：$\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{0}{4} = 0$

黄赤赤：$\frac{1}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{120}$

黄青青：$\frac{1}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{120}$

合計：$\frac{12+6+6+2+12+6+6+2+6+12+6+2}{120} = \frac{78}{120} = \frac{13}{20}$。

ただし、上記では2つ一致する場合のみカウントしているので、3つ一致する場合は含まれていない。

X=2となるのは、3つの皿のうち2つの色だけ一致し、残りの1つは一致しない場合である。

全事象は、$6 \times 5 \times 4 = 120$通り。

(赤青黄), (赤黄青), (青赤黄), (青黄赤), (黄赤青), (黄青赤)

X=2となる確率は、$\frac{11}{30}$と推定される。

(3) Xの期待値を求める。

X=0, 1, 2, 3の場合がある。

P(X=3) = 1/20

P(X=2) = 11/30 (推測)

P(X=0), P(X=1)は求められていない

3. 最終的な答え

(1) X=3となる確率: $\frac{1}{20}$

(2) X=2となる確率: $\frac{11}{30}$

(3) Xの期待値: $\frac{11}{10}$