確率変数 $X$ の分布関数 $F_X(x)$ が与えられています。 $$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \le x < 2 \\ \frac{2}{3} & 2 \le x < 3 \\ 1 & 3 \le x \end{cases} $$ このとき、以下の確率を求めます。 (1) $P(X \le 2)$ (2) $P(X > 1.5)$ (3) $P(X = 3)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の分布関数 $F_X(x)$ が与えられています。

$$$$

F_X(x) = \begin{cases}

0 & x < 1 \\

\frac{1}{5} & 1 \le x < 2 \\

\frac{2}{3} & 2 \le x < 3 \\

1 & 3 \le x

\end{cases}

$$$$

このとき、以下の確率を求めます。

(1) $P(X \le 2)$

(2) $P(X > 1.5)$

(3) $P(X = 3)$

2. 解き方の手順

(1) $P(X \le 2)$ を求めます。分布関数の定義より、$P(X \le 2) = F_X(2)$ です。$2 \le x < 3$ のとき $F_X(x) = \frac{2}{3}$ です。したがって、$F_X(2) = \frac{2}{3}$ です。

(2) $P(X > 1.5)$ を求めます。$P(X > 1.5) = 1 - P(X \le 1.5)$ です。$1 \le x < 2$ のとき、$F_X(x) = \frac{1}{5}$ です。したがって、$P(X \le 1.5) = F_X(1.5) = \frac{1}{5}$ です。よって、$P(X > 1.5) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ です。

(3) $P(X = 3)$ を求めます。これは、$P(X \le 3) - P(X < 3)$ で計算できます。$P(X \le 3) = F_X(3) = 1$ です。$P(X < 3)$ は、$x$ が3より小さい範囲での最大の$F_X(x)$ の値です。$2 \le x < 3$ のとき $F_X(x) = \frac{2}{3}$ です。したがって、$P(X < 3) = \frac{2}{3}$ です。よって、$P(X = 3) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $P(X \le 2) = \frac{2}{3}$

(2) $P(X > 1.5) = \frac{4}{5}$

(3) $P(X = 3) = \frac{1}{3}$