あるメーカーのドロップ缶について、赤い色のドロップの数 $X$ とイチゴ味のドロップの数 $Y$ の同時確率分布が与えられている。 問1では、$X$ と $Y$ の期待値 $E[X]$, $E[Y]$ と分散 $V[X]$, $V[Y]$ を求める。 問2では、$X$ と $Y$ の共分散 $Cov[X, Y]$ と相関係数 $\rho[X, Y]$ を求める。

1. 問題の内容

あるメーカーのドロップ缶について、赤い色のドロップの数 $X$ とイチゴ味のドロップの数 $Y$ の同時確率分布が与えられている。

問1では、$X$ と $Y$ の期待値 $E[X]$, $E[Y]$ と分散 $V[X]$, $V[Y]$ を求める。

問2では、$X$ と $Y$ の共分散 $Cov[X, Y]$ と相関係数 $\rho[X, Y]$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、周辺確率を計算する。

$P(X=x)$ は、$P(X=x, Y=1) + P(X=x, Y=2) + P(X=x, Y=3)$ で計算できる。

$P(Y=y)$ は、$P(X=1, Y=y) + P(X=2, Y=y) + P(X=3, Y=y)$ で計算できる。

次に、期待値と分散の公式を用いる。

$E[X] = \sum x P(X=x)$

$E[Y] = \sum y P(Y=y)$

$E[X^2] = \sum x^2 P(X=x)$

$E[Y^2] = \sum y^2 P(Y=y)$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2$

$Cov[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y]$

$E[XY] = \sum \sum xy P(X=x, Y=y)$

$\rho[X, Y] = \frac{Cov[X, Y]}{\sqrt{V[X]V[Y]}}$

具体的な計算:

$P(X=1) = 0.30 + 0.01 + 0.02 = 0.33$

$P(X=2) = 0.25 + 0.09 + 0.03 = 0.37$

$P(X=3) = 0.20 + 0.00 + 0.10 = 0.30$

$P(Y=1) = 0.30 + 0.25 + 0.20 = 0.75$

$P(Y=2) = 0.01 + 0.09 + 0.00 = 0.10$

$P(Y=3) = 0.02 + 0.03 + 0.10 = 0.15$

$E[X] = 1*0.33 + 2*0.37 + 3*0.30 = 0.33 + 0.74 + 0.90 = 1.97$

$E[Y] = 1*0.75 + 2*0.10 + 3*0.15 = 0.75 + 0.20 + 0.45 = 1.40$

$E[X^2] = 1^2*0.33 + 2^2*0.37 + 3^2*0.30 = 0.33 + 1.48 + 2.70 = 4.51$

$E[Y^2] = 1^2*0.75 + 2^2*0.10 + 3^2*0.15 = 0.75 + 0.40 + 1.35 = 2.50$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 4.51 - (1.97)^2 = 4.51 - 3.8809 = 0.6291 \approx 0.63$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 2.50 - (1.40)^2 = 2.50 - 1.96 = 0.54$

$E[XY] = (1*1*0.30) + (1*2*0.01) + (1*3*0.02) + (2*1*0.25) + (2*2*0.09) + (2*3*0.03) + (3*1*0.20) + (3*2*0.00) + (3*3*0.10) = 0.30 + 0.02 + 0.06 + 0.50 + 0.36 + 0.18 + 0.60 + 0 + 0.90 = 2.92$

$Cov[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y] = 2.92 - (1.97)(1.40) = 2.92 - 2.758 = 0.162 \approx 0.16$

$\rho[X, Y] = \frac{Cov[X, Y]}{\sqrt{V[X]V[Y]}} = \frac{0.16}{\sqrt{0.63 * 0.54}} = \frac{0.16}{\sqrt{0.3402}} = \frac{0.16}{0.58326} = 0.2743 \approx 0.27$

3. 最終的な答え

$E[X] = 1.97$

$E[Y] = 1.40$

$V[X] = 0.63$

$V[Y] = 0.54$

$Cov[X, Y] = 0.16$

$\rho[X, Y] = 0.27$