縦の長さと横の長さの和が $16$ cm で、縦の長さが横の長さ以下の長方形がある。この長方形の面積を $48$ cm$^2$ 以上にするには、縦の長さをどのような範囲にとればよいかを考える。 (1) 縦の長さを $x$ cm とするとき、長方形ができるような $x$ の値の範囲を求める。 (2) 長方形の面積が $48$ cm$^2$ 以上であることから、$x$ の不等式を作る。 (3) 縦の長さがどのような範囲にあればよいかを求める。

1. 問題の内容

縦の長さと横の長さの和が $16$ cm で、縦の長さが横の長さ以下の長方形がある。この長方形の面積を $48$ cm$^2$ 以上にするには、縦の長さをどのような範囲にとればよいかを考える。

(1) 縦の長さを $x$ cm とするとき、長方形ができるような $x$ の値の範囲を求める。

(2) 長方形の面積が $48$ cm$^2$ 以上であることから、$x$ の不等式を作る。

(3) 縦の長さがどのような範囲にあればよいかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 縦の長さを $x$ とすると、横の長さは $16-x$ となる。長方形ができるためには、縦の長さと横の長さは正である必要がある。また、縦の長さは横の長さ以下である必要がある。

$x > 0$

$16-x > 0$

$x \le 16-x$

$16-x > 0$ より $x < 16$

$x \le 16-x$ より $2x \le 16$ よって $x \le 8$

したがって、$0 < x \le 8$

(2) 長方形の面積は $x(16-x)$ で表される。これが $48$ 以上であることから、次の不等式が成り立つ。

$x(16-x) \ge 48$

(3) (2)の不等式を解く。

$x(16-x) \ge 48$

$16x - x^2 \ge 48$

$x^2 - 16x + 48 \le 0$

$(x-4)(x-12) \le 0$

$4 \le x \le 12$

(1)の結果から、$0 < x \le 8$ である必要がある。

したがって、$4 \le x \le 8$

3. 最終的な答え

(1) $0 < x \le 8$

(2) $x(16-x) \ge 48$

(3) $4 \le x \le 8$